2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 компакт в счетно нормированном пространстве
Сообщение22.11.2009, 21:13 


20/04/09
1067
$(E,\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}})$ -- отделимое счетно нормированное пространство; $K\subset E$ -- компакт
Доказать, что
существует линейное пространство $F\subseteq E,\quad K\subset F$ на
котором определена норма $\|\cdot\|$ такая, что вложение
$(F,\|\cdot\|)\to (E,\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}})$
непрерывно и является гомеоморфизмом между $K$ c топологией, индуцированной нормой
$\|\cdot\|$,
и $K$ с топологией, индуцированной полунормами $\{\|\cdot\|_k\}_{k\in \mathbb{N}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: компакт в счетно нормированном пространстве
Сообщение24.11.2009, 19:52 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Хм, интересная задачка. В качестве пространства, допустим, линейную оболочку можно взять.
А вот как задать ограниченную окрестность нуля ( для новой топологии ), чтобы выполнялись хотя бы условия критерия Колмогорова? :?:

В общем, интересно бы на авторское решение посмотреть ( ну, если никто не решит ).

 Профиль  
                  
 
 Re: компакт в счетно нормированном пространстве
Сообщение25.11.2009, 11:22 


20/04/09
1067
Я еще поинтригую пока. Вот теорема Шаудера-Тихонова о неподвижной точке основана на лемме Цорна. Причем доказательство там такое, что от леммы Цорна избавитться невозможно в принципе даже если пространство счетно нормированное (даже если оно конечномерное). А с помощью этого утверждения, в случае счетнонормированного пространства, теорема Шаудера-Тихонова сразу следует из теоремы Шаудера.

 Профиль  
                  
 
 Re: компакт в счетно нормированном пространстве
Сообщение11.12.2009, 16:01 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
terminator-II
Мне ( да и не только, наверно ) кажется, что Вы уже очень даже поинтриговали! :)
Было бы интересно и на решение посмотреть, если никто не возражает.

 Профиль  
                  
 
 Re: компакт в счетно нормированном пространстве
Сообщение12.12.2009, 12:48 


20/04/09
1067
в качестве $F$ действительно надо брать линейную оболочку компакта

$$\|\cdot\|=\sum_{k=1}^\infty\frac{\|\cdot\|_k}{m_k2^k},\quad m_k=\max\{1,\max_{x\in K}\|x\|_k\}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group