[Дифференциальные уравнения]Задача

[SHIMA91]

Помогите составить уравнение.
Задача такая
Пуля, двигается со скоростью V=200м/сек, пробивает стену толщиной h=0,1м и вылетает из нее со скоростью 50м/сек. Считая силу сопротивления стены пропорционально квадрату скорости движения пули, найдите время T движения пули в стене.
Я думаю надо связать с $F=ma$ где как я понял $F=kv^2$
Тогда $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{kv^2}{m} =k_0v^2$ разделяя по частям получаю $\dfrac{-1}{v}=k_0t+c$
но что то мне это не кажется правильным ходом решения.
Кто может знает по точнее как решать?

[AKM]

SHIMA91,

пока народ думает над Вашей задачкой, прошу обратить внимание на наши правила и исправить написание формул (используйте кнопку для редактирования своего сообщения).

У Вас это довольно просто. Достаточно некоторые формулы окружить знаками доллара:
$dv/dt=k_0 v^2$ --- $ dv/dt=k_0 v^2 $.
$ \dfrac{dv}{dt} $ даёт $ \dfrac{dv}{dt} $.

-- Пн ноя 23, 2009 21:31:35 --

SHIMA91 в сообщении #264687 писал(а):

Тогда $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{kv^2}{m} =k_0v^2$

Мне ход решения кажется правильным.
Я бы только, может, учёл бы, что производная отрицательна (скорость уменьшается), и явно поставил бы знак минус: $\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{kv^2}{m}$. Но это неважно, надо просто быть готовым, что получится $k_0<0$.
Следующий шаг --- определить постоянную интегрирования $C=-1/v_0$.

Или Вы уже всё доделали до конца?

[EtCetera]

SHIMA91
Собственно, Вы правильно поняли, что в этой задаче нужно воспользоваться вторым законом Ньютона. Только применили его немного неправильно.
В векторном виде он запишется так: $m\vec a=\vec F_{\text{сопр.}}$.
В проекции на (горизонтальное) направление движение пули: $ma_x=F_{\text{сопр.}}_x$, т.е. $ma_x=-kv_x^2$ (минус появляется из-за того, что сила сопротивления направлена противоположно выбранной оси). Т.к. $a_x=\dot{v_x}$, то получаем ДУ, которое решается (как Вы правильно заметили) разделением по частям.
Решением ДУ будет функция $v_x(t)$. Нулевой момент времени свяжем со входом пули в стену. Из условия $v_x(0)=200$ получим значение константы $C$ в записи $v_x(t)$. Таким образом, получается закон изменения скорости пули при ее движении в стене. Уравнение движения пули в стене легко получить интегрированием: $x(t)=\int_0^t v_x(\tau)\,d\tau$ (здесь начало координат также связывается с точкой входа пули в стену). Время движения пули в стене можно найти из системы уравнений:
$\left\{\begin{array}{ll}x(T)=0,1\\v(T)=50\end{array}\right$
P.S. Также интересно (и полезно) было бы провести все выкладки в буквенном виде, без конкретных числовых значений.

-- Пн ноя 23, 2009 21:49:25 --

AKM
Прошу прощения, не заметил, что Вы уже ответили.

EtCetera,
нет повода для "прошу прощения", Вы расписали подробно и нелениво, и вообще...
Мы воспользовались и, похоже, прислушались. //AKM

[SHIMA91]

я получаю такое ду $v(t)=\dfrac{1}{k_0t}+200$
нахожу уравнение описывающее движение пули в стене от времени
$x(t)=(\dfrac{ln|t|}{k_0}+200t)|\ _0^t=0.1$
вот система
$\left\{\begin{array}{II}v(t)=\dfrac{1}{k_0t}+200=50\\x(t)=(\dfrac{ln|t|}{k_0}+200t)\|_0^t=0.1\end{array}\right$

но на интеравале от 0 до t логарифм в нуле не определен, что то не пойму как решить систему

[AKM]

Как это Вы из правильного

SHIMA91 в сообщении #264687 писал(а):

разделяя по частям получаю $\dfrac{-1}{v}=k_0t+c$

получили неправильное???

SHIMA91 в сообщении #264778 писал(а):

я получаю такое ду $v(t)=\dfrac{1}{k_0t}+200$

Подставьте в

$$\dfrac{-1}{v}=k_0t+c\qquad\eqno(1)$$

$t=0$, $v=v_0$, найдите $c$, и просто перепишите уравнение (1) с найденным значением $c$. Перепишите и посмотрите на него.

[SHIMA91]

но мы же брали с минусом $-k_0v^2$
тогда получаем $ma=-k_0v^2$ и следовательно $\dfrac{dv}{-v^2}=k_0dt$

[AKM]

Ну я же не знал, согласились ли Вы на минус. Но тогда

$$\dfrac{1}{v}=k_0t+C\qquad\eqno(2)$$

Подставьте в него $t=0$, $v=v_0$, найдите $C$, и просто перепишите уравнение (2) с найденным значением $C$. Перепишите и посмотрите на него:

$$\dfrac{1}{v}=k_0t+\dfrac{1}{v_0}=\dfrac{k_0 v_0 t+1}{v_0}.$$

[SHIMA91]

я же уже нашел С=1/200
$v(t)=\dfrac{1}{k_0t}+200$

[AKM]

$$v(t)=\dfrac{v_0}{k_0 v_0 t+1}=\dfrac{200}{200 k_0 t+1}$$

(извините, когда я предлагал посмотреть, я имел в виду внимательно посмотреть).

$\ln x$ --- $\ln x$ (палочка перед и пробел после ln)

-- Пн ноя 23, 2009 23:25:56 --

А, Вы, наверное, думаете, что если $\dfrac1v=\dfrac12+ \dfrac13$, то $v=2+3$?
Нет, это не так.

[SHIMA91]

я думаю что $v=6/5$

я получил
$v(t)=\dfrac{200}{200 k_0 t+1}=50$
$x(t)=\ln|k_0^2200t+1|=0.1$

я бы поделил $\dfrac{x(t)}{v(t)}=T$ правильно мыслю?

[AKM]

Неправильно. Щас напишу. А $k_0^{{\color{red}2}}$ возмущает слегка.
1. Как можно делить путь на скорость при дико-неравномерном движении???
2. Вы скрыли от нас разборки с постоянной интегрирования при интегрировании скорости. Уверены, что всё правильно?

[SHIMA91]

Ну это у меня всплыло при интегрирование, когда подносил под дифференциал.

[AKM]

Неправильно "подносили". Мне недосуг пересчитывать, но неправильность бросается в глаза.

А если бы Вы прислушались к совету

EtCetera в сообщении #264753 писал(а):

P.S. Также интересно (и полезно) было бы провести все выкладки в буквенном виде, без конкретных числовых значений.

и не спешили бы 200 вместо $v_0$ подставлять, было бы видно ИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ, что $x(t)$ неправильно. А так размерности потеряны.
Не может быть $\color{blue}\mbox{расстояние}=\ln\ldots$. Слева --- сантиметры, справа --- безразмерное число.

-- Вт ноя 24, 2009 00:23:35 --

3. Неточная (нестрогая) запись:

SHIMA91 в сообщении #264804 писал(а):

я получил
$v(t)=\dfrac{200}{200 k_0 t+1}=50$

НЕверно, что $v(t)=50$. Ибо $t$ --- бегущее время. Написанное означает, что скорость постоянна.
Но верно, что $v(T)=50$. Ибо $T$ --- конкретный искомый промежуток времени, а $v(T)=50$ --- скорость в тот самый момент.

[SHIMA91]

я вот так находил интеграл от $v(t)$

$$x(t)=\int_0^t\dfrac{v_0dt}{k_0v_0t+1}=\int_0^t\dfrac{d(k_0v_0t+1)}{k_0(k_0v_0t+1)}=\dfrac{1}{k_0}(\ln|k_0v_0t+1|)|\ _0^t= \dfrac{1}{k_0}\ln|k_0v_0t+1|$$

Вот так расписал, и вправду ошибся...

Задача враз и есть найти это T. только вот как найти это Т ?

[AKM]

Щас подумаем (может, кто ещё подскажет). Но что-то я от Вашей задачки проголодался среди ночи. По крайней мере, из $v(T)=\dfrac{v_0}{v_0 k_0 T+1}=v_1$ можно найти $k_0T$. Авось, пригодится.

-- Вт ноя 24, 2009 01:20:58 --

Ну да. А потом из $x(T)=h$ найдём $k_0$. Зная $k_0$ и $k_0T$, глядишь, как-то $T$ сумеем извлечь. К утру.

-- Вт ноя 24, 2009 01:28:48 --

Вау, Вы уже и интегралы рисовать наловчились!
Только я там подправил, окружил формулу двойными долларами $$ ... $$, и она за это пошла в отдельную строку.