День первый
12 июля 2006
Любляна, Словения
1. Пусть

— центр окружности, вписанной в треугольник

. Точка

внутри треугольника удовлетворяет условию
Доказать, что

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

.
2. Пусть

— правильный

-угольник. Говорят, что диагональ
хорошая, если ее концы делят периметр

на две части, каждая из которых состоит из нечетного числа сторон

. Стороны

также считаются хорошими. Предположим, что

разрезали на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не пересекаются внутри

. Найти наибольшее число равнобедренных треугольников с двумя хорошими сторонами, которое может встретиться в такой конфигурации.
3. Найти наименьшее вещественное число

такое, что неравенство
имеет место при всех вещественных

,

и

.
День второй
13 июля 2006
Любляна, Словения
4. Найти все такие пары

целых чисел, что
5. Пусть

— многочлен степени

с целыми коеффициентами, а

— некоторое натуральное число. Рассмотрим многочлен
где

встречается

раз. Доказать, что существует не более

целых чисел

со свойством

.
6. Для каждой стороны

выпуклого многоугольника

вычислим наибольшую площадь треугольника, у которого

является одной из сторон и который содержится в

. Доказать, что сумма площадей, вычисленных таким образом для всех сторон

, по крайней мере вдвое больше площади

.
Решения:
http://imo2006.dmfa.si/imo2006-solutions.pdf
Обсуждение:
IMO 2006 Slovenia @ MathLinks.Ro
Олимпиадная математика @ ЖЖ:
день первый,
день второй
Сайт олимпиады этого года:
http://imo2006.dmfa.si/
Сайт международных математических олимпиад школьников:
http://imo.math.ca/