47 Международная матем. олимпиада школьников, Словения-2006

[dm]

День первый
12 июля 2006
Любляна, Словения

1. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Точка $P$ внутри треугольника удовлетворяет условию

$$\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.$$

Доказать, что $AP\geq AI$ и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $P=I$.

2. Пусть $P$ — правильный $2006$-угольник. Говорят, что диагональ $P$ хорошая, если ее концы делят периметр $P$ на две части, каждая из которых состоит из нечетного числа сторон $P$. Стороны $P$ также считаются хорошими. Предположим, что $P$ разрезали на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не пересекаются внутри $P$. Найти наибольшее число равнобедренных треугольников с двумя хорошими сторонами, которое может встретиться в такой конфигурации.

3. Найти наименьшее вещественное число $M$ такое, что неравенство

$$\lvert ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\rvert \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$$

имеет место при всех вещественных $a$, $b$ и $c$.


День второй
13 июля 2006
Любляна, Словения

4. Найти все такие пары $(x, y)$ целых чисел, что

$$1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.$$

5. Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n > 1$ с целыми коеффициентами, а $k$ — некоторое натуральное число. Рассмотрим многочлен

$$Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots )),$$

где $P$ встречается $k$ раз. Доказать, что существует не более $n$ целых чисел $t$ со свойством $Q(t) = t$.

6. Для каждой стороны $b$ выпуклого многоугольника $P$ вычислим наибольшую площадь треугольника, у которого $b$ является одной из сторон и который содержится в $P$. Доказать, что сумма площадей, вычисленных таким образом для всех сторон $P$, по крайней мере вдвое больше площади $P$.

Решения: http://imo2006.dmfa.si/imo2006-solutions.pdf
Обсуждение: IMO 2006 Slovenia @ MathLinks.Ro
Олимпиадная математика @ ЖЖ: день первый, день второй
Сайт олимпиады этого года: http://imo2006.dmfa.si/
Сайт международных математических олимпиад школьников: http://imo.math.ca/

[dm]

Неофициальный командный зачет

Номер Страна Сумма Золото Серебро Бронза Поощрит.
1 CHINA 214 6 0 0 0
2 RUSSIA 174 3 3 0 0
3 KOREA 170 4 2 0 0
4 GERMANY 157 4 0 2 0
5 UNITED STATES OF AMERICA 154 2 4 0 0
6 ROMANIA 152 3 1 2 0
7 JAPAN 146 2 3 1 0
8 IRAN 145 3 1 2 0
9 MOLDOVA 140 2 1 3 0
10 TAIWAN 136 1 4 1 0
11 POLAND 133 1 2 3 0
12 ITALY 132 2 2 0 1
13 VIETNAM 131 2 1 3 0
14 HONG KONG 129 1 3 2 0
15 CANADA 123 0 4 2 0
16 THAILAND 123 1 2 3 0
17 HUNGARY 122 0 3 3 0
18 SLOVAKIA 118 1 2 3 0
19 TURKEY 117 0 4 1 1
20 UNITED KINGDOM 117 0 4 1 1
21 UKRAINE 114 1 1 3 1
22 BELARUS 111 0 3 2 1
23 MEXICO 110 1 2 1 1
24 ISRAEL 109 0 2 2 2
25 AUSTRALIA 108 0 3 2 1
26 BULGARIA 116 0 3 2 1
27 SINGAPORE 100 0 1 4 1
28 FRANCE 99 1 0 3 2
29 BRAZIL 96 0 0 6 0
30 SWITZERLAND 95 1 1 0 4
31 ARGENTINA 95 0 2 2 1
32 KAZAKHSTAN 95 0 0 5 1
33 GEORGIA 94 0 1 3 2
34 LITUANIA 94 0 1 2 3
35 INDIA 92 0 0 5 1
36 ARMENIA 90 0 1 1 4
37 SLOVENIA 90 0 1 3 2
38 SERBIA 88 0 0 5 1
39 FINLAND 86 0 0 4 2
40 PERU 85 0 0 2 4
41 BOSNIA AND HERTEGOZINIA 84 0 1 2 3
42 AUSTRIA 83 0 0 3 3
43 SWEDEN 82 0 0 3 3
44 ESTONIA 80 0 0 2 2
45 SPAIN 80 0 1 2 2
46 MONGOLIA 80 0 0 2 4
47 PORTUGAL 78 0 0 3 1
48 AZERBAIJAN 77 0 1 1 4
49 CZECH REPUBLIC 77 0 0 3 3
50 COLUMBIA 76 0 0 2 3
51 ALBANIA 76 0 1 1 2
52 BELGIUM 75 0 0 1 4
53 LATVIA 75 0 0 3 2
54 CROATIA 72 0 1 1 2
55 SRI LANKA 71 0 0 3 2
56 GREECE 69 0 0 2 3
57 UZBEKISTAN 68 0 0 2 3
58 NEW ZEALAND 66 0 0 2 2
59 ICELAND 63 0 0 1 2
60 MACAU 63 0 0 2 1
61 TURKMENISTAN 59 0 0 2 1
62 NETHERLANDS 57 0 0 0 5
63 MACEDONIA 57 0 0 1 3
64 SOUTH AFRICA 57 0 0 0 5
65 MOROCCO 55 0 0 0 4
66 NORWAY 52 0 0 1 2
67 IRELAND 49 0 0 0 4
68 PARAGUAY 47 0 1 0 1
69 DENMARK 45 0 0 0 1
70 ECUADOR 40 0 0 1 2
71 MALAYSIA 40 0 0 1 1
72 TAJIKISTAN 35 0 0 0 3
73 VENEZUELA 34 0 0 0 3
74 TRINIDAD AND TOBAGO 34 0 0 0 2
75 PANAMA 33 0 0 0 2
76 PAKISTAN 32 0 0 0 1
77 KYRGYZSTAN 31 0 0 0 2
78 EL SALVADOR 27 0 0 0 2
79 COSTA RICA 27 0 0 1 1
80 BANGLADESH 22 0 0 0 2
81 CYPRESS 19 0 0 0 1
82 URUGUAY 12 0 0 0 1
83 LUXEMBOURG 12 0 0 0 1
84 PUETRO RICO 11 0 0 0 0
85 NIGERIA 11 0 0 0 0
86 BOLIVIA 5 0 0 0 0
87 KUWAIT 5 0 0 0 0
88 SAUDI ARABIA 3 0 0 0 0
89 LIECHTENSTEIN 2 0 0 0 0
90 MOZAMBIQUE 0 0 0 0 0


XLS-файл с результатами: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... ch&id=4515
Официальные результаты: http://imo2006.dmfa.si/results.html
Обсуждение: Results of the 47th IMO 2006 Slovenia @ MathLinks.Ro
http://community.livejournal.com/ru_oly ... 26576.html