Признак делимости на 9

[_v_l]

За ранее прошу за название не пинать .

Начну из далека: со школы остались в голове два признака делимости целых чисел: "Если число оканчивается на чётную цифру, то оно кратно двум", "Если сумма цифр в числе кратна 3, то и само число кратно 3".
Видел (в одном школьном сборнике) формулировки признаков делимости на 7 и 11.

Заметил следующее: "Если сумма цифр в числе кратна 9, то оно само кратно 9". Полного и исчерпывающего доказательства нет, да и не нужно пока (есть идея проверить по мат. индукции, но есть "некрасивые" места).

Вот из-за "некрасивых" мест меня и смущает, является ли это утверждение признаком делимости (т.е. если делится, то сумма цифр кратна 9 и наоборот).

P.S. Вопрос назрел чисто из интереса. Есть ли другой способ, кроме мат. индукции доказать утверждение (если оно справедливо).

P.P.S. Нашёл в русской Википедии [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Признаки_делимости[/url], так что выходит наблюдение не подвело , как насчёт доказательства?

[AKM]

Посмотрите на разность числа $N=a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1}+\ldots +a_0$ и суммы его цифр $S=a_n + a_{n-1}+\ldots +a_0$, и наделайте выводов о делимости.
Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы.

[PAV]

Переезжаем в "Помогите разобраться", вопрос не дискуссионный.

[_v_l]

AKM в сообщении #253590 писал(а):

Посмотрите на разность числа $N=a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1}+\ldots +a_0$ и суммы его цифр $S=a_n + a_{n-1}+\ldots +a_0$, и наделайте выводов о делимости.
Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы.

$N-S$ $\Rightarrow$ $10^{i}-1=99\ldots9$, кратно 9, вот протупил


P.S. Тему можно закрыть

[Коровьев]

А вот первоклассная первоклассная штучка - таблица усножения на 9 на пальцах.
Пуcть нужно умножить, к примеру, 6*9
1.Положите на стол обе руки, растопырив пальцы.
2. Отсчитайте слева направо шестой палец и загните его.
3. Тогда, слева от загнутого пальца будет число десятков в пальцах, а справо число единиц в пальцах
4. IIIII_IIII.
Я проверил для всех чисел до 10. Точно!

[ИСН]

Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы?
(Гусары, молчать!)

[ИС]

ИСН
А сосед по парте на что? пусть он и считает =)

[Коровьев]

ИСН в сообщении #253741 писал(а):

Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы?
(Гусары, молчать!)

Я, потренировавшись, научился считать зрительно... и носом.

[Батороев]

А я все думал, чего это некоторые при разговоре пальцы гнут?
Оказывается, это они в уме что-то считают.

_v_l
Теперь для тренировки можете подумать, каковы признаки делимости на 11?

[Ketchup]

признак делимости на 11 известен, ну по крайней мере мне, в учебнике был написан как и на 9
а то что заметил - хорошо)