2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 10:30 
За ранее прошу за название не пинать :).

Начну из далека: со школы остались в голове два признака делимости целых чисел: "Если число оканчивается на чётную цифру, то оно кратно двум", "Если сумма цифр в числе кратна 3, то и само число кратно 3".
Видел (в одном школьном сборнике) формулировки признаков делимости на 7 и 11.

Заметил следующее: "Если сумма цифр в числе кратна 9, то оно само кратно 9". Полного и исчерпывающего доказательства нет, да и не нужно пока (есть идея проверить по мат. индукции, но есть "некрасивые" места).

Вот из-за "некрасивых" мест меня и смущает, является ли это утверждение признаком делимости (т.е. если делится, то сумма цифр кратна 9 и наоборот).

P.S. Вопрос назрел чисто из интереса. Есть ли другой способ, кроме мат. индукции доказать утверждение (если оно справедливо).

P.P.S. Нашёл в русской Википедии [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Признаки_делимости[/url], так что выходит наблюдение не подвело :D, как насчёт доказательства?

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 10:41 
Аватара пользователя
Посмотрите на разность числа $N=a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1}+\ldots +a_0$ и суммы его цифр $S=a_n + a_{n-1}+\ldots +a_0$, и наделайте выводов о делимости.
Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы. :)

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 10:50 
Аватара пользователя
Переезжаем в "Помогите разобраться", вопрос не дискуссионный.

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 11:57 
AKM в сообщении #253590 писал(а):
Посмотрите на разность числа $N=a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1}+\ldots +a_0$ и суммы его цифр $S=a_n + a_{n-1}+\ldots +a_0$, и наделайте выводов о делимости.
Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы. :)


$N-S$ $\Rightarrow$ $10^{i}-1=99\ldots9$, кратно 9, вот протупил :oops:


P.S. Тему можно закрыть 8-)

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 21:01 
Аватара пользователя
А вот первоклассная первоклассная штучка - таблица усножения на 9 на пальцах.
Пуcть нужно умножить, к примеру, 6*9
1.Положите на стол обе руки, растопырив пальцы.
2. Отсчитайте слева направо шестой палец и загните его.
3. Тогда, слева от загнутого пальца будет число десятков в пальцах, а справо число единиц в пальцах
4. IIIII_IIII.
Я проверил для всех чисел до 10. Точно!

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 21:09 
Аватара пользователя
Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы?
(Гусары, молчать!)

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 21:16 
Аватара пользователя
ИСН
А сосед по парте на что? пусть он и считает =)

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение21.10.2009, 21:29 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #253741 писал(а):
Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы?
(Гусары, молчать!)

Я, потренировавшись, научился считать зрительно... и носом.

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение22.10.2009, 17:36 
А я все думал, чего это некоторые при разговоре пальцы гнут?
Оказывается, это они в уме что-то считают. :mrgreen:

_v_l
Теперь для тренировки можете подумать, каковы признаки делимости на 11?

 
 
 
 Re: Признак делимости на 9
Сообщение23.11.2009, 20:30 
признак делимости на 11 известен, ну по крайней мере мне, в учебнике был написан как и на 9
а то что заметил - хорошо)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group