А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.

[Ираклий]

Garik2 в сообщении #264314 писал(а):

Жаль, что удалили мои ссылки на статьи в первом посту - там об этом подробно говорится.

Ну, думаю, это была излишняя мера со стороны модераторов. Попробуйте снова опубликовать ссылку (быть может, модераторы будут более снисходительны). Или на худой конец киньте в личку.

[Garik2]

Тоже нельзя. Дело сложнее. Каждый кирпич не просто один кирпич, а ряд, составленный из
одинаковых блоков (ряды перпендикулярны плоскости чертежа). И чтобы не было совпадений швов в отмеченном направлении, числа должны быть попарно простыми. Числа же 3 и 9 имеют общий делитель и совпадений швов между этими рядами не избежать.
В личку попробую сбросить, как только разберусь как это сделать.
Рискну дать ссылку как текст - может модератор сжалится над нами, любителями чистой науки: <http://renuar911.narod.ru/A_numb101.mht>

[Ираклий]

Garik2 в сообщении #264461 писал(а):

Числа же 3 и 9 имеют общий делитель и совпадений швов между этими рядами не избежать.

Верхний ряд: 1,3,1,3,1.
Нижний ряд: 9.
Вроде бы никакого шва. И одинаковые кирпичики друг друга не касаются. Чем Вам не нравится такая структура?

[Garik2]

То, что Вы предложили, верно, если задача плоская. На самом деле задача пространственная. На Рис. показаны планы компоновки двух слоев кладки. Видно, что блоки имеют в плане такие размеры: 1 x 27 ; 3 x 9 (масштабы по горизонтали и вертикали у меня получились разными, поэтому ориентируйтесь только по числам). Выбранные Вами три числа не попарно простые, так как числа 3 и 9 имеют общий делитель. Это приводит к тому, что в четырех местах кладки наблюдаются совпадения швов по вертикали (нарисовал красным цветом). Чтобы этого не было, нужно обязательно принимать попарно простую тройку чисел.

P.S.
1) Число 27 - это длина секции L = a * b * c = 1 * 3 * 9
2) Тройка 1 , 3 , 9 не относится к группе А-чисел.

[Ираклий]

Что задача объемная - это неожиданно. И тут на форуме, и в статье Вы формулируете задачу как плоскую. Но, правда, заранее оговариваете, что числа попарно взаимно простые:

Цитата:

Пусть имеются отрезки a < b < c , длины которых выражены целыми попарно простыми числами. На двух горизонтальных параллельных лучах, начиная от заданной вертикали, откладываем эти отрезки таким образом, чтобы ни с какой стороны отрезки с одинаковыми длинами не совпадали. Мы составили своеобразную задачу о трех красках. Суммы длин в обоих случаях должны быть одинаковыми.

Означает ли это, что если числа попарно взаимно простые, то любое решение плоской задачи можно превратить в решение объемной задачи?

Какова постановка объемной задачи, я не понял. В Вашей статье этого не нашел (хотя там в конце есть чертеж некой двухслойной кладки). Тут нужно либо такое же подробное словесное объяснение, которое Вы дали для плоской задачи, либо несколько рисунков с примерами правильной объемной кладки (а лучше и то, и другое ).

А нельзя ли рассматривать плоскую задачу в отрыве от объемной? И не вводить ограничение на попарную взаимную простоту. Тоже ведь содержательная задача получается: описать "плоские" А-тройки.

П.С. Я недавно изучал сплошные (без швов) замощения прямоугольников доминошками. Но там задача не сложно полностью решается и формулируется простой критерий существования такого замощения.

[arqady]

(Оффтоп)

Ираклий в сообщении #264553 писал(а):

П.С. Я недавно изучал сплошные (без швов) замощения прямоугольников доминошками. Но там задача не сложно полностью решается и формулируется простой критерий существования такого замощения.

A триминошками ( из квадрата 2х2 выбросили угловой квадратик 1х1 ) квадрат 9х9 можете?

[Garik2]

Не надо ничего усложнять. Данная математическая задача - прикладная и важна для составления реальных структур из блоков-параллелепипедов. Точно так же, как теорема Пифагора важна для построения прямых углов в архитектуре. Из объемности данной задачи был получен только один важный фактор (или ограничение) - три числа должны быть попарно взаимно простыми. Иначе неизбежны совпадения швов внутри структуры, что нежелательно с точки зрения надежной монолитности. Как только данное ограничение было установлено, оказалось возможным решать плоскую задачу. Это на порядок упростило дальнейшие исследования и привело к обнаружению особых троек чисел a, b, c , при которых образуются только симметричные структуры ( а не одна симметричная и две асимметричные, как считалось раньше - так было в моей диссертации, защищенной в 1982 году). Таких особых чисел оказалось очень мало и среди всех попарно простых составляют около 3%. Поэтому я их выделил в особую группу чисел, назвав А-числами.. Интересным оказалось то, что a, b, c - обязательно нечетные. Пока их получаю путем геометрических построений, как это сделал выше для a = 5 ; b = 7 ; c =13. Но хотелось бы найти формальную формулу, по который они бы автоматически вычислялись (аналогично пифагоровым тройкам). И тут возникли препятствия. Общий алгоритм был найден, но обнаружились странные исключения, например, с числами a=5 и a=27 (возникла даже мысль - а не связано ли это с совершенными числами: ведь 5 = 6-1 и 27 = 28-1). Непонятно, например, почему ни при каком c вообще нет А-чисел, которые начинаются так: 5 , 11, c ; 5 , 23 , c ; 27 , 31 , c ; 27 , 35 , c ; 27 , 41 , c .... и т.д..? Что в этих числах особого? Это меня обескуражило, я захлебнулся в поисках объяснений столь неприятной неожиданности. Хотя совсем недавно все шло как по маслу.
Вот почему и вынужден искать помощи на форуме. Здесь, - я вижу, - специалисты очень умные и взгляд их свежий, не утомленный, как у меня.

[Garik2]

Сейчас продолжаю расчеты - нет также А-чисел для следующих a и b: 3 , 7 ; 3 , 11 ; 3 , 19 ; 3 , 23 ; 3 , 31 ; ... ; 7 , 11 ; 7 , 15 ; 7 , 19 ; 7 , 23 ; .... и так далее. Потому-то А-чисел так мало.

[12d3]

Garik2
Объясните, пожалуйста, по каким правилам строятся объемные кладки, а то из рисунка непонятно.

[Garik2]

В принципе все объяснено в статье, ссылку на которую я дал. Приведу оттуда рисунок и поясню. Высота блоков одинаковая, равна h и поэтому достаточно рассмотреть только планы раскладок параллепипедов. Тут два вида блоков. При a=5; b=7; c=13 (они относятся к группе А-чисел) габариты блоков такие:

1) ab x bc = 5*7 x 7*13 = 35 x 91
2) bb x ac = 7*7 x 5*13 = 49 x 65

Площади основания блоков одинаковы и, следовательно, все блоки имеют одинаковый вес. Это очень существенный момент.
Из рисунка видно, как компонуются два курса кладки, если смотреть на секцию сверху. Это - одна из трех симметричных структур. Другие две симметричные структуры состоят из тех же двух типов блоков, имеют ту же длину L=455, но ширины их иные (конкретно 581 и 749).


Думаю - все просто и ясно. Видно, что нигде не совпадают швы между рядами и блоками.
На Рис. от 22.11.2009 первый эскиз - это торец со стороны ширины В. Там эта ширина 13 + 5 + 13 = 31. В приведенном рисунке данного поста ширина B в 7 раз больше , то есть 31*7 = 217.

[deep blue]

Если a,b,c -упорядоченная тройка чисел, образующая три симметричных решения, то другие тройки, обладающие таким свойством, будут иметь вид a,b,c+n(a+b), поэтому достаточно рассматривать тройки, в которых с<2(a+b). Также, не существует тройки с числами разной четности, поскольку в этом случае невозможно симметричное наложение четного отрезка на нечетный. Возможно, что и другие тройки, рекуррентно связаны более сложным образом.

[Garik2]

Был бы очень рад, коль было бы все так просто. Но посмотрите: если мы хотим выявить все А-числа для a=5 и b = 7, то непременно c = 12k + 1 и то только при таких k, когда c - попарно простое с a и b .
Аналогично для a=5 и b=9 решения в двух случаях: c=14k+1 и 14k+3; для a=5 и b=13 --> 18k+1 и 18k + 7 и так далее и тому подобное. Причем, все сложнее и сложнее. Зная эти частные зависимости можно легко на компьтере продолжить ряд хоть до бесконечности. Но как получить эти частные зависимости? Коэффициент при k - это сумма a + b. Но большего добиться не удалось.
Кстати, час назад выяснил, что при a=9 нет А-чисел только для b=19 (как помните, при a=5 решений совсем нет лишь при двух значений b: 11 и 23). Как понять такое? Есть ли универсальное правило, которому подчинялись бы все А-числа?

[Garik2]

Вот теперь появилась минимальная статистика.

Если a = 5 , то А-чисел нет только при: b = 11 и b = 23

Если a = 9, то А-чисел нет только при: b = 19

Если a = 13, то А-чисел нет только при: b = 27 и b = 167

В промежуточных случаях, когда a=3, 7, 11 - А-чисел нет при бесконечных (но определенных!) значениях b.

Задача кажется мне в общем виде неразрешимой.

[deep blue]

Кажется, есть кое-какой прогресс. Похоже, мощным средством анализа данной проблемы являются конечные автоматы. Попозже напишу доказательство, что все нечетные тройки вида k,k+2,2k+3 (далее a,b,c) (k>3) образуют строго три симметричных решения. Смысл в том, чтобы построить конечный автомат для заданной кладки, и показать при каких условиях он заканчивается “почти” в том же состоянии где и начинается. Возможно, удастся найти общее решение для всех троек, у которых 2a>b и 2a+b>c>a+b, в этом случае конечный автомат получается особенно простым (циклическим, если не брать в расчет конечного состояния).

[Garik2]

Молю Бога, чтобы это помогло! Я уж исчерпал всю свою потенциальную энергию. А так хочется добраться до истины, которая должна быть необыкновенно красивой, коль речь идет о полной симметрии.

Но на всякий случай покажу асимметричный вариант для a=3; b=4; c=5 , которые не относятся к группе А-чисел, и составляют коллективное большинсво (почти 97.5% всех попарно взаимно простых чисел)



Алгоритмическая запись этой кладки (если смотреть на торец слева):

3 4 5
5 3 4

Вторая асимметричная структура - это зеркальная структура относительно диагнонали:

4 3 5
5 4 3

Симметричная структура записывается так:

3 5 3
4 3 4

Чтобы получить последние две кладки, достаточно перетасовать ряды блоков в приведенном рисунке. Во всех трех структурах длина L постоянна и равна a*b*c=3*4*5 = 60
Габариты блоков:

1) ab x bc = 3*4 x 4*5 = 12 x 20
2) bb x ac = 4*4 x 3*5 = 16 x 15

Популярно о моих кладках написано в статье <http://nikol-ilchenko.narod.ru/king_magic.html>. Тогда еще не было известно об А-числах и все приведенные 44 структуры - одно-симметричные и двух-асимметричные.