2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение06.11.2009, 00:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Обнаружено множество троек целых, нечетных, попарно взаимно простых чисел, при помощи которых образуются только симметричные структуры. Если под этими числами понимать три отрезка, окрашенных в разные цвета, то во всех симметричных структурах ни в одном месте не будут соприкасаться отрезки с одинаковым цветом. Подробно об А-числах читайте в статье ссылка удалена

 !  Предупреждение за рекламу! Если хотите анонсировать свои результаты - опишите их тут без отсылки на сторонние сайты.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение06.11.2009, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Впервые слышу о проблеме трех красок.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение06.11.2009, 16:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Правильно что впервые. Эту проблему поднял я, когда занимался оптимальным раскроем материала из прямоугольников равной площади.
Коротко так. Имеются три отрезка длиной a, b, c, причем эти длины выражены целыми попарно взаимно простыми числами. Каждому отрезку присвоим свой цвет. Например, a - красный, b - синий, c - зеленый. От одной вертикали строим две параллельные цепочки таким образом, чтобы нигде рядом не оказывались отрезки с одинаковым цветом (то есть все точно так же, как в проблеме четырех красок). И тут оказалась интересная вещь. В подавляющем обльшинстве случаев удается для каждого набора a,b,c составить одну симметричную компоновку и две асимметричные. Но встречаются и такие числа, например, 1, 3, 5 , которые образуют три симметричные структуры. Таких чисел - менее 3% от общего количества попарно взаимно простых чисел. Их я и назвал А-числами. Жаль, что нельзя давать ссылку - там все объяснено в рисунках. Попробую дать изображение
Изображение. Вроде, получилось. Тут как раз приведены примеры компоновки цветных отрезков. В таблице приведены некоторые А-числа. Никак не могу подобрать общую зависимость для их генерации. Получаю исходя из графических построение и очень долго (по машинным меркам). Может, кто-то видит в А-числах закономерность?

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение06.11.2009, 17:09 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Garik2 в сообщении #259069 писал(а):
Правильно что впервые. Эту проблему поднял я, когда занимался оптимальным раскроем материала из прямоугольников равной площади.
Коротко так. Имеются три отрезка длиной a, b, c, причем эти длины выражены целыми попарно взаимно простыми числами. Каждому отрезку присвоим свой цвет. Например, a - красный, b - синий, c - зеленый. От одной вертикали строим две параллельные цепочки таким образом, чтобы нигде рядом не оказывались отрезки с одинаковым цветом (то есть все точно так же, как в проблеме четырех красок). И тут оказалась интересная вещь. В подавляющем обльшинстве случаев удается для каждого набора a,b,c составить одну симметричную компоновку и две асимметричные. Но встречаются и такие числа, например, 1, 3, 5 , которые образуют три симметричные структуры. Таких чисел - менее 3% от общего количества попарно взаимно простых чисел. Их я и назвал А-числами. Жаль, что нельзя давать ссылку - там все объяснено в рисунках.
Слово "теорема" на картинке подразумевает, что вы её доказали.
Если это так, то в доказательстве должна быть ошибка, т.к. для чисел 1,3,5 есть четвёртая конфигурация:
3,5,3,5,3
1,5,1,5,1,5,1

А для тройки 1,3,7 я вообще нашёл 6 конфигураций.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение06.11.2009, 18:21 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
А, блин, пропустил "не соприкасаются отрезки с одинаковым цветом".
Считайте, что предыдущего сообщения не было. Удалить уже не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение08.11.2009, 22:44 
Админ форума
Аватара пользователя


20/01/09
1376
А нельзя было сделать фон картинки не таким ядовито-желтым? Чисто физически смотреть на такое довольно неприятно, глаза сразу же устают.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение10.11.2009, 00:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Смогу, наверное. Завтра поколдую и сделаю просто бесцветный фон. Рисунок сделал, но режима правки в посту нет. Заменить никак теперь не могу. Придется один раз потерперть и ... продолжать жить дальше.

Насчет теоремы. Была 358 лет Великая Теорема Ферма и никого не смущало, что она никак не доказывалась. Убедительно?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение10.11.2009, 11:37 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Garik2 в сообщении #260348 писал(а):
Рисунок сделал, но режима правки в посту нет

А просто заменить ИЗОБРАЖЕНИЕ по ссылке вам в голову не пришло? Изображение-то не на сервере dxdy, а на вашем сайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение14.11.2009, 23:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Да, конечно, так и надо было делать. Я просто хотел удалить большой дикий рисунок и не сообразил как.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение15.11.2009, 08:08 
Заслуженный участник


04/03/09
911
А почему числа должны быть попарно взаимно простыми? Из тройки 1, 3, 9 тоже три симметричных цепочки получается.
З.Ы. Теорема-то очевидная. Неочевидна только закономерность таких троек.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение20.11.2009, 09:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Если принять не попарно простые числа, то внутри структуры обязательно в каком-то месте совпадут швы. А для любой хорошей кладки (в том числе и кирпичной) это недопустимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение21.11.2009, 23:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Вот, например, как можно создать три симметричные схемы из других А-чисел: a = 5 ; b = 7 ; c =13 Изображение

Структуры потрясающе красивые! А если учесть, что все "кирпичики" имеют одинаковую массу, то такие структуры можно считать ортимальными (структура является равнопрочной, а если она выполнена из реальных блоков, веса которых соответствуют грузоподъемности крана, то время возведения - минимально).

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение22.11.2009, 03:21 
Аватара пользователя


05/09/05
118
Москва
Обязательно ли в структуре использовать кирпичики всех трех видов? Можно, например, в верхнем ряду положить 7 пятерок, а в нижнем 5 семерок?

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение22.11.2009, 07:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Нет, нельзя. Не должны соприкасаться никакие кирпичики с одинаковыми числами - ни по бокам, ни по вертикали. Этого можно добиться лишь тремя разными числами, причем нечетными и попарно простыми. Жаль, что удалили мои ссылки на статьи в первом посту - там об этом подробно говорится. Поэтому - данные три схемы - единственные, а числа, которые обеспечивают три симметричные структуры - очень редки, по сравнению со всеми попарно взаимно простыми. О таких числах ранее даже не предполагали. Открыл я их случайно, в результате одной непутевой ошибки. Так в жизни, оказывается, бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.
Сообщение22.11.2009, 10:14 
Заслуженный участник


04/03/09
911
Garik2 в сообщении #263740 писал(а):
Если принять не попарно простые числа, то внутри структуры обязательно в каком-то месте совпадут швы.

Эээ.. А вы тройку 1,3,9 проверяли? Там внутри нигде ничего не совпадает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group