Дифференциальное уравнение (принцип максимума)

[Alexey1]

Дана задача
$u_t=u_{xx}, 0<x<1, t>0$
$u(x,0)=1-x^2$
$u(0,t)=u(1,t)=0$.
Необходимо используя принцип максимума (в слабом смысле, то есть неравенство в принципе максимума не строгое) доказать, что $u(x,t)>0, 0<x<1, t>0$.
Пробовал найти решение которое на границе меньше рассматриваемого решения, чтобы оценить его снизу, но проще не получается. Если предположить что существует $x_0\in(0;1), t_0\in(0,\infty), u(x_0,t_0)=0$, а значит по принципу максимума $(x_0,t_0)$ есть точка минимума, то можно получить $u_t=0$ а значит $u_{xx}=0$. Но вот что дальше делать не понятно.

[neverland]

Попалась та же задача. Решается как-то так:
По принципу максимума $u(x,t)\ge0$
По неравенству Харнака
$\inf u(x,t)\ge c\,\sup u(x,t)$
$0\ge c\,\sup u(x,t)$ следовательно $u(x,t)\le0$, $u(x,t)=0$. Противоречие, значит $u(x,t)>0$.

[Хорхе]

Может, так: пусть $v(t,x) = u(t,x) - c\sin \pi x$, $c$ -- крохотная положительная постоянная.
Тогда $v$ на границе неотрицательна, а внутри области $\frac{\partial v}{\partial t}< \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$.

[Хорхе]

Сорри, протупил, так не выйдет.

[mitia87]

А у меня вопрос по неравенству Харнака. У Эванса (Partial Differential Equations,
Lawrence C. Evans, AMS, 1997) оно доказано при условии $u \in C_1^2\left(U_T\right)\bigcap C\left(\overline{U}_T \right), U_T = (0, 1) \times (0,T]$. А у Вас решение не является непрерывным в замыкании области. Не подскажете Ваш источник?

[neverland]

mitia87 в сообщении #263699 писал(а):

Не подскажете Ваш источник?

Murray H.Protter, Hans F.Weiberger "Maximum Principles in Differential Equations"

[mitia87]

mitia87 в сообщении #263699 писал(а):

А у меня вопрос по неравенству Харнака. У Эванса (Partial Differential Equations,
Lawrence C. Evans, AMS, 1997) оно доказано при условии $u \in C_1^2\left(U_T\right)\bigcap C\left(\overline{U}_T \right), U_T = (0, 1) \times (0,T]$. А у Вас решение не является непрерывным в замыкании области. Не подскажете Ваш источник?

Спасибо... А ссылкой не на googlebooks не поделитесь?

[neverland]

у меня она в печатном виде, насчет электронной версии даже не знаю, но по идее должна быть

[Gafield]

mitia87 в сообщении #263699 писал(а):

А у меня вопрос по неравенству Харнака. У Эванса (Partial Differential Equations,
Lawrence C. Evans, AMS, 1997) оно доказано при условии $u \in C_1^2\left(U_T\right)\bigcap C\left(\overline{U}_T \right), U_T = (0, 1) \times (0,T]$. А у Вас решение не является непрерывным в замыкании области. Не подскажете Ваш источник?

Можно применить неравенство Харнака к любой внутренней подобласти, там решение уравнения теплопроводности гладкое вплоть до границы.