Первая производная: y=2^x\arcctg(2^x)+\ln\sqrt{1+4^x}

[vonkurt]

Проверьте,пожалуйста,правильно ли найдена производная:$y=2^x\arcctg(2^x)+\ln\sqrt{1+4^x}$

$$4^x=2^2^x$$

$y'=(2^x)'\cdot \arcctg 2^x+(\arcctg 2^x)'2^x+(\ln\sqrt{1+2^2^x})'=2^x \ln 2\cdot \arcctg 2^x+\left(-\dfrac{2^x\ln2}{1+(2^x)^2}\right) 2^x+\dfrac{1}{\sqrt{1+2^2^x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+2^2^x}}\cdot2^2^x\ln2\cdot2=2^x\cdot \ln2\cdot \arcctg2^x-\dfrac {2^2^x\cdot \ln2}{1+2^2^x}+\frac{2^2^x\cdot \ln2}{1+2^2^x}=2^x \cdot ln2\cdot \arcctg2^x$
Уууфф...
P.S.Действительно,с dfrac'ом элегантнее))),специально в последнем оставил,для наглядности)).Спасибо.
Раз использовав Tex-не думаю,что откажешься ...

[AKM]

Правильно. Только Вы там в одном месте штрих забыли (второе слагаемое).

Предлагаю поправить, а также заменить \frac на \dfrac --- может, Вам понравится.
Вроде пока час не прошёл, и Вы можете поредактировать своё сообщение.
Также не помешали бы команды \ln, \arcctg вместо ln, arcctg.

[bot]

Неправильно. Если так считать, то это и неудивительно.
1. Сразу должно броситься в глаза, что функция подлежащая дифференцированию имеет вид $f(2^x)$. Зачем каждое слагаемое дифференцировать как сложную функцию?
2. Зачем дифференцировать корень, если ... его как бы и нет?

[gris]

Ну можно было бы и без уффф, сделав замену $t=2^x$ и немного преобразовав логарифм
Тогда $y_t=(t\arcctg t+\dfrac12\ln(1+t^2))'=\arcctg t+\dfrac {-t}{1+t^2}+\dfrac {2t}{2(1+t^2)}=\arcctg t$

Пока писал, уже сказали.

[vonkurt]

bot в сообщении #263146 писал(а):

Неправильно. Если так считать, то это и неудивительно.
1. Сразу должно броситься в глаза, что функция подлежащая дифференцированию имеет вид $f(2^x)$. Зачем каждое слагаемое дифференцировать как сложную функцию?
2. Зачем дифференцировать корень, если ... его как бы и нет?

Не подскажете с какого места пошёл не туда.
Хотя,вроде-как учили-так и делал

-- Ср ноя 18, 2009 12:07:53 --

gris в сообщении #263148 писал(а):

Ну можно было бы и без уффф, сделав замену $t=2^x$ и немного преобразовав логарифм
Тогда $y_t=(t\arcctg t+\dfrac12\ln(1+t^2))'=\arcctg t+\dfrac {-t}{1+t^2}+\dfrac {2t}{2(1+t^2)}=\arcctg t$

Пока писал, уже сказали.

Спасибо.Попробую...

[bot]

bot в сообщении #263146 писал(а):

Неправильно.

Упс, там arcctg - тогда правильно.

[AKM]

vonkurt в сообщении #263138 писал(а):

Раз использовав Tex-не думаю,что откажешься ...

Тогда вот Вам ещё один финт на заметку: сравните $(-\dfrac{2^xln2}{1+(2^x)^2})2^x$ и $\left(-\dfrac{2^x\ln 2}{1+(2^x)^2}\right)2^x$ и $\left[-\dfrac{2^x \ln2}{1+(2^x)^2}\right]2^x$.

[gris]

И не забудьте, что $y_x=y_t\cdot t_x$

А ещё перед ln надо ставить \
не $ln 2$, а $\ln 2$

[vonkurt]

gris в сообщении #263152 писал(а):

И не забудьте, что $y_x=y_t\cdot t_x$

Если бы не сказали-забыл бы Это у одного человека есть строки в песне:"...вспомнил о том,что и не знал ,что забыл..."

[vonkurt]

С умным видом согласился:"попробую".Затем открыл литературу....Разобраться,вроде,разобрался...Действительно-легче.Но писать в контрольную нельзя---не читали нам их.И про замены ничего не говорили.
Это уже больше-флуд .Но разбираться приятно.

-- Сб ноя 21, 2009 23:38:19 --

"...я вспоминаю то, что даже не знал, что забыл..."

[vonkurt]

Оформляю контрольную.Вдруг пришло в голову,что НЕЛЬЗЯ сокращать под знаком логарифма $2$-ку.АЙЯЯЯЯЙ.
НО ВЕДЬ ДОЛЖНО сократиться,иначе решение не решением выглядит,а не пойми чем!
Подскажите,пожалуйста,КАК убрать эти двойки!
$\left(-\dfrac{2^2^x\ln2}{1+2^2^x}\right)+\dfrac{2^2^x\ln2\cdot 2}{2(1+2^2^x)}$

[Sekhmet]

Вы хотите сказать, во втором слагаемом? Там прекрасно сокращаются двойка в числителе и двойка в знаменателе.

[vonkurt]

Никак не поймаю .Затем мне надо что бы эти два слагаемых сократились.
А так ,как говорите Вы,они не вычтутся.Или вычтутся?
Что у меня останется в числителе второго слагаемого?

[Sekhmet]

Я так понимаю, что то же выражение, что в числителе первого слагаемого. Вы ведь сокращаете не ту двойку, что под знаком логарифма, а ту, на которую умножается логарифм. У Вас ведь не просто так стоит знак $\cdot$. Или просто так?

[Виктор Викторов]

vonkurt в сообщении #271485 писал(а):

Подскажите,пожалуйста,КАК убрать эти двойки!
$\left(-\dfrac{2^2^x\ln2}{1+2^2^x}\right)+\dfrac{2^2^x\ln2\cdot 2}{2(1+2^2^x)}$

$\left(-\dfrac{2^2^x\ln2}{1+2^2^x}\right)+\dfrac{2^2^x\ln2^2}{2(1+2^2^x)}$

Только учтите, я не проверял КАК Вы пришли к этой формуле.