Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических ур-й

[usersname]

Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений
$ \left( \begin{array}{cc} 4x_1+2x_2+x_3-2x_4=3\\ -x_1+x_2-2x_3+3x_4=5\\ 2x_1-x_2+2x_3+x_4=0\\ -3x_1+3x_2-x_3+x_4=2\\ \end{array} \right)$

вот дошел до такой матрицы а дальше как преобразовать не знаю
$ \left( \begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & -4 & -5\\ 0 & 1 & -2 & 7 & 10\\ 0 & 0 & 5 & -8 & -13\\ 0 & 0 & 5 & -28 & -37\\ \end{array} \right)$
возможно в принципе что посчитано не правильно

[Mitrius_Math]

В нижнем ряду 5 превратите в нуль. Дальше у Вас получится ax_4=..., bx_3+cx_4=... и т.д.

-- Ср ноя 04, 2009 11:52:57 --

То есть, Вы сразу получите значение x_4. Подставляя его в уравнение строкой выше, узнаете, чему равен x_3 и т.д.

[NeBotan]

А если у меня в примере дано 4 уравнения и 5 неизвестных, то такой пример нормально решится методом Гаусса ( требуется решить именно этим методом). В этом случае нужно произвольно выбрать и зафиксировать одну из переменных?

[ewert]

NeBotan в сообщении #263124 писал(а):

В этом случае нужно произвольно выбрать и зафиксировать одну из переменных?

Произвольно -- нельзя. Случайно может оказаться так, что эта наугад выбранная переменная как раз для этой-то системы и фиксирована. Тривиальный пример: $x+y+z=2,\ 2x+2y+z=5$ сводится к $x+y=3,\ z=-1$. Да и, кроме того, фактически свободных переменных может оказаться больше одной -- если по ходу решения ещё какие-то строчки исчезнут.

Надо привести левую. часть матрицы к единичному виду -- пользуясь при необходимости и перестановкой столбцов (вместе с обозначениями для переменных, конечно). И вот теперь-то те переменные, которые окажутся правее квадратной единичной части, действительно могут играть роль свободных параметров.

[NeBotan]

понял. я нашел на одном из сайтом такую логику, что раз число строк меньше числа уравнений, то сводим ее к ступенчатому виду, потом смотрим, сколько строк осталось - получаем число независимых переменных, а потом через них выражаем оставшиемся.

спасибо большое, что подтвердили мои соображения по этому поводу.

[ewert]

Ну только наоборот: количество строк -- это количество зависимых переменных, а не свободных.