Интеграл с тремя зависимыми от одной переменной...

[umnyj]

Здравствуйте. Сам решал, не могу решить. Может, сообщество поможет. Задача по вариационному исчислению.
Есть интеграл вида: $\int$ẋḣtdt. x, h и t зависят от t. Причем ẋ означает, что функция x(t) была продифференцирована по t один раз (можно записать ẋ(t) = x'(t)). А интегрировать данную функцию можно лишь до состояния x(t). Далее можно заменить x на $e^{-\frac1t}$ и интегрировать дальше. h(t) можно интегрировать лишь до h. Брать интеграл $\int{h dt}$ нельзя, нужно оставлять в данном виде. t можно интегрировать как обычную переменную от t.
Может кто сможет решить эту задачку...
П.С. Может кто знает формулу интегрирования произведения трех зависимых от одной переменной. То есть$\int{u v t dt}$. Очень помогла бы.

[ИСН]

Вы хотите невозможного. Есть формула "интегрирования по частям", но это другое.

[umnyj]

Я естественно пытался воспользоваться формулой интегрирования по частям. Там получается еще одно вложенное интегрирование по частям, раз зависимость не от двух переменных, а от трех. Но какие бы я не брал части для u и v, максимум что получается - вложенный интеграл от x. Замена на то, что написал в топике, и получаем неинтегрируемый интеграл от $e^{-\frac1t}$...

[ИСН]

Значит, судьба такая.

[gris]

Может быть стоит попробовать интегрирование по трём частям?

$\int uvdw=uvw-\int uwdv-\int vwdu$

[umnyj]

Супер! Вроде все выходит. И где вы такую формулу достали, я справочники разные перерыл, гугль с яндексом, но такой не нашел Спасибо огромное. Жаль плюс в репу поставить нельзя.

[gris]

Эта формула получается точно так же, как и обычная. Из формулы производной произведения нескольких функций.