Найдите наибольшее значение

[ShMaxG]

daogiauvang

Ну а попытки-то решения последней задачи у Вас есть?

[mitia87]

ИСН в сообщении #262694 писал(а):

Спасибо за замечание, ShMaxG, именно этим тут все и занимаются с самого начала. Ближайшее, да, но которое из них?
Собственно, может быть, так-то и получилось бы сделать из этой задачи настоящую олимпиадную: всегда ли $\max\limits_{k\in \cal N}{n^k\over k^k}$ достигается на, so to say, том ближайшем, которое ближе, и если нет, то где первое исключение?

Оказывается, что нет. Maple выдал, что для $n \in \{5688, 6653, 7531, 7724, 7917, 9181, 9480, 9567, 9760,...\}$ условие не выполняется.

[ИСН]

Ну вот и прекрасно. ИМХО, можно переносить тему обратно в "Олимпиадные задачи".

[gris]

Я всё никак не успокоюсь.
А нельзя ли для оценки $\dfrac {37^{37}}{36^{36}}$ применить формулу Стирлинга?

$\dfrac {37^{37}}{36^{36}}\approx\dfrac {37!e^{37}\sqrt{2\pi\cdot 36}}{36!e^{36}\sqrt{2\pi\cdot 37}}=\dfrac {37e\sqrt{36}}{\sqrt{37}}=e\sqrt{36\cdot 37}$

Вы будете громко смеяться, но это равно 99,2.

[ИСН]

Есть оценка сверху, есть оценка снизу, а есть оценка "вообще"?

[gris]

gris в сообщении #262893 писал(а):

Вы будете громко смеяться

ИСН в сообщении #262896 писал(а):

Я - провидец!

-- Вт ноя 17, 2009 12:41:34 --

Кста, абсолютная ошибка меньше одной сотой. Я просто имел в виду, что перемножить числа и извлечь корень можно и без калькулятора. Ну чисто ради прикола.

[mitia87]

Вдогонку две куда более простые задачи.
1. Покажите, что для функции $f(x) = -x^2 + 2px + q,$ где $p, q \in \mathbb R, \max\limits_{k\in \mathbb N}{f(k)}$ достигается на ближайшем к корню производной натуральном числе.
2. Найдите интервал для коэффициента $p \in (0, 1)$, что для функции $f(x) = -x^{2n + 2} + (2n + 2)p ^ {2n + 1}x + q,$ где $p, q \in \mathbb R, n \in \mathbb N, \max\limits_{k\in \mathbb N}{f(k)}$ достигается не на ближайшем к корню производной натуральном числе.

[gris]

По-моему, это связано с симметрией графика функции в окрестности максимума. Или в характере асимметрии.

[ИСН]

Ясно дело. Если симметрия есть, то уж ближайший, а если нет, то... то можно подобрать, когда не!
(И ещё: я тут случайно ляпнул $\cal N$ вместо $\mathbb N$, не копируйте меня, хватит.)

[mitia87]

gris в сообщении #262893 писал(а):

Я всё никак не успокоюсь.
А нельзя ли для оценки $\dfrac {37^{37}}{36^{36}}$ применить формулу Стирлинга?

$\dfrac {37^{37}}{36^{36}}\approx\dfrac {37!e^{37}\sqrt{2\pi\cdot 36}}{36!e^{36}\sqrt{2\pi\cdot 37}}=\dfrac {37e\sqrt{36}}{\sqrt{37}}=e\sqrt{36\cdot 37}$

Вы будете громко смеяться, но это равно 99,2.

Воспользуюсь Вашей идеей, немного модифицировав формулу Стирлинга:

$$\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e ^ {\frac{1}{12n + 1}} < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e ^ {\frac{1}{12n}}.$$

Тогда

$$ \frac {37^{37}}{36^{36}} < e\sqrt{36\cdot 37} e ^ {\frac{1}{12 \cdot 36}} < e\sqrt{36\cdot 37} \left(1 + \frac{1}{12 \cdot 36 -1} \right) < 99.5 .$$

Можно ещё точнее:

$$99.21418355 \approx \frac {37^{37}}{36^{36}} < e\sqrt{36\cdot 37} e ^ {\frac{1}{12 \cdot 36} - \frac{1}{12 \cdot 37 + 1}} < e\sqrt{36\cdot 37} \left(1 + \frac{13}{12 \cdot 36 \cdot (12 \cdot 37 + 1) -13} \right) \approx 99.21468636 .$$

Т.е., погрешность в 4 знаке после запятой.

[gris]

mitia87, брависсимо!

[mitia87]

daogiauvang в сообщении #262726 писал(а):

Найтиде, с доказательством, максимальное значение

$$\prod_{j=1}^{k} x_j$$

где

$$x_j\geq 0, \sum_{j=1}^{k} x_j=100$$

и $k$ переменным. В частности, ваш ответ должен быть больше или равное всем значениям, полученным от другого выбора $k$.

Не знаю, насколько логично искать решения среди равных $x_j$ (симметрия все-таки), но если так, то видимо ответ Вам дан: $k = 37, x_j = \frac{100}{37}, j = 1..37.$

[vmg]

${\left(\frac{100}{36}\right)^{36}}<{\left(\frac{100}{37}\right)^{37}}\leftrightarrow{37\ln{\left(1+\frac1{36}\right)}<{\ln{\frac{25}9}}}$.\par Докажем, что ${\ln{\left(1+\frac1{36}\right)}}<{\frac{73}{72}}<{\ln{\frac{25}9}}$.\par Левое неравенство следует из неравенства \par ${(k+1)\ln{\left(1+\frac1{k}\right)}}<{1+\frac1{2k}\right)$ $(1)$ при $k=36$.\par $(1)$ выводится из оценки сверху площади подграфика функции $y=\frac1x$ на промежутке $[k;k+1]$.\par Правое неравенство следует из неравенства ${\ln{\left(1+\frac1m\right)}}>{\frac1{m+1}}$ (оценка соответствующей площади снизу) при $m=71$ и из того факта, что $e<{\frac{71\cdot25}{72\cdot9}}$, что проверяется вручную.\par Действительно, тогда ${\frac{25}{4e}}>{1+\frac1{71}}$ и \par ${\ln{e\cdot\frac{25}{9e}}}={1+\ln{\frac{25}{9e}}}>{1+\ln{\left(1+\frac1{71}\right)}}>{1+\frac1{72}}$.

[vmg]

Про максимум $\left(\fracnk\right)^k$.
Переформулируем условие. Рассмотрим функцию $f(x)=\left(\fracnx\right)^x$. Максимум достигается в точке $x=\fracne$. (Надо прологарифмировать и взять производную). Пусть $k$ такое, что $\fracne\in[k;k+1]$ ($\frac{2k+1}2$ - середина этого отрезка). Верно ли, что:
1) если $\fracne>\frac{2k+1}2$, то $\left(\fracnk\right)^k<\left(\fracn{k+1}\right)^{k+1}$;
2) если $\fracne<\frac{2k+1}2$, то $\left(\fracnk\right)^k>\left(\fracn{k+1}\right)^{k+1}$?
Докажем 1): ${\left(\fracnk\right)^k<\left(\fracn{k+1}\right)^{k+1}}\Leftrightarrow{k\cdot\ln{\left(1+\frac1k\right)}<\ln{\fracn{k+1}}}$.
Так как $n>e\cdot\frac{2k+1}2$, то $\ln{\fracn{k+1}}>1-\ln{\frac{2k+2}{2k+1}}$ и нам достаточно доказать, что $k\cdot\ln{\left(1+\frac1k\right)}+\ln{\left(1+\frac1{2k+1}}<1$.
Докажем последнее неравенство.

[Профессор Снэйп]

mitia87 в сообщении #262905 писал(а):

Вдогонку две куда более простые задачи.
1. Покажите, что для функции $f(x) = -x^2 + 2px + q,$ где $p, q \in \mathbb R, \max\limits_{k\in \mathbb N}{f(k)}$ достигается на ближайшем к корню производной натуральном числе.

Да вроде очевидно. Парабола ведь симметрична.

mitia87 в сообщении #262905 писал(а):

2. Найдите интервал для коэффициента $p \in (0, 1)$, что для функции $f(x) = -x^{2n + 2} + (2n + 2)p ^ {2n + 1}x + q,$ где $p, q \in \mathbb R, n \in \mathbb N, \max\limits_{k\in \mathbb N}{f(k)}$ достигается не на ближайшем к корню производной натуральном числе.

Максимум достигается при $x=p$. Имеем $f(0)=q$, $f(1) = -1 + (2n+2)p^{2n+1} + q$ и нужно определить, при каких $p > 1/2$ выполнено $p^{2n+1} < 1/(2n+2)$.