Объясните как решить: касательная к эллипсу

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #262484 писал(а):

Просветите тогда, каково школьное определение касательной к эллипсу. У нас в школе эллипсов вообще не проходили

Здесь мы равны. У нас тоже не проходилось.

Профессор Снэйп в сообщении #262484 писал(а):

а касательная к окружности определялась как прямая, пересекающая окружность ровно в одной точке.

Почти верно, требуется только принадлежность прямой плоскости окружности.

Профессор Снэйп в сообщении #262484 писал(а):

Тут вот кто-то частные производные спешит вычислять, а кто-то параметризовать кривую и дифференцировать по параметру. Ответьте мне на два вопроса:

Заметим окружность и параболу.

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #262288 писал(а):

должно быть всё на школьный манер: касательной к эллипсу называется прямая, пересекающая эллипс ровно в одной точке.

3) (Любителям школьных манер). Пусть кривая задаётся уравнением $y=x^3$. Как доказать, что касательная к ней в точке $(0;0$ задаётся уравнением $y=0$?

[Mathusic]

ewert в сообщении #262497 писал(а):

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #262288 писал(а):

должно быть всё на школьный манер: касательной к эллипсу называется прямая, пересекающая эллипс ровно в одной точке.

3) (Любителям школьных манер). Пусть кривая задаётся уравнением $y=x^3$. Как доказать, что касательная к ней в точке $(0;0$ задаётся уравнением $y=0$?

Вот-вот. А если синусоиду себе представить. То страшно подумать даже. Касательная может пересекать график в большом (сколь угодно) количестве точек!

[gris]

В школьной геометрии (планиметрии) есть три эквивалентных определения касательной к окружности
1. Прямая на расстоянии радиуса от центра окружности
2. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (подходит для гладких замкнутых кривых, ограничивающих выпуклую фигуру)
3. Прямая, проведённая через точку окружности перпендикулярно её радиусу, проведённому в эту точку.

В алгебре изучаются только касательные к графикам обычных функций.

Эллипс проходится только в факультативных курсах. И там касательные строятся сугубо геометрически с использованием фокусов.

А здесь задача наверняка из аналитической геометрии. Я посмотрел у Александрова касательные к кривым второго порядка (гл.VI п.2). По определению - должна иметь одну общую точку. А касательность прямой доказывается через параметрическое уравнение прямой и общее уравнение кривой. И намекнуто, что для эллипса как раз можно использовать частные производные.

подкорректировано. спс Mathusic

[Mathusic]

gris в сообщении #262512 писал(а):

2. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (подходит для гладких замкнутых кривых, ограничивающих выпуклую фигуру)

Почти правильно. Нужно требовать принадлежность плоскости окружности.

gris в сообщении #262512 писал(а):

3. Прямая, проведённая через точку окружности перпендикулярно её радиусу.

НЕВЕРНО. Должно быть: ...радиусу, проходящему через эту точку..

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #262497 писал(а):

3) (Любителям школьных манер). Пусть кривая задаётся уравнением $y=x^3$. Как доказать, что касательная к ней в точке $(0;0$ задаётся уравнением $y=0$?

А вот тут, если по школьному, то как раз надо дифференцировать Кривая задана в виде графика функции $y = f(x)$ (чего нет в случае с эллипсом), так что касательной в точке $(x_0, y_0)$ для $y_0 = f(x_0)$ будет прямая $y = f'(x_0)(x-x_0) + y_0$. То же самое с графиком функции $y = \sin x$.

Вообще-то, если разобраться, касательная --- вещь сложная, и определяется по уму только в курсе дифгема. А до дифгема идут определения для различных частных случаев: касательная к окружности-эллипсу, касательная к графику дифференцируемой функции... Поскольку задача явно не из дифгема, я и поинтересовался определением касательной к эллипсу.

gris в сообщении #262512 писал(а):

В школьной геометрии есть три эквивалентных определения касательной к окружности
1. Прямая на расстоянии радиуса от центра окружности
2. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (подходит для гладких замкнутых кривых, ограничивающих выпуклую фигуру)
3. Прямая, проведённая через точку окружности перпендикулярно её радиусу.

На эллипсы обобщается только второе определение. Причём очень в духе ангема: эллипс --- "растянутая" окружность, при аффинных преобразованиях плоскости прямые переходят в прямые.