Вопрос по Ландау-Лифшицу

[lexus c.]

1. Доброй ночи! В книге Ландау-Лифшица (1 том, механика) приведено следующее:

Цитата:

Полезно заметить, что

$$${v^2} = {\left( {\frac{{dl}} {{dt}}} \right)^2} = \frac{{d{l^2}}} {{d{t^2}}}$$$

Но разве это так?
Пусть, например,$ $$l = \cos \left( t \right)$$$.
Тогда имеем:
$$${\left( {\frac{{d\cos \left( t \right)}} {{dt}}} \right)^2} = {\left( { - \sin \left( t \right)} \right)^2} = {\sin ^2}\left( t \right)$$ $
и
$\[\frac{{d{{\cos }^2}\left( t \right)}} {{d{t^2}}} = \frac{{ - 2\cos \left( t \right)\sin \left( t \right)dt}} {{d{t^2}}} = - \frac{{\cos \left( t \right)\sin \left( t \right)}} {t}\] $.
Наверное, я что-то не так понимаю в этом.
2. И соответственно у меня не сходится с ответом задача, которую авторы, видимо, решали, используя формулу выше, а я — «честно» считая производные и возводя их в квадрат.
Задача такая:
Найти функцию Лагранжа системы, находящейся в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести — g): плоский маятник, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания по закону $\[a\cos \left( {\gamma t} \right)\] $.

[ShMaxG]

Ну дык там квадрат относится к дифференциалу, а не к поддиференциальному выражению.

[lexus c.]

ShMaxG в сообщении #262356 писал(а):

Ну дык там квадрат относится к дифференциалу, а не к поддиференциальному выражению.

А не могли бы Вы скобками пояснить что имеете в виду?

[ShMaxG]

$\[{\left( {\frac{{dl}} {{dt}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {dl} \right)}^2}}} {{{{\left( {dt} \right)}^2}}}\]$ - вот, что имелось ввиду.
$ \[{\left( {\frac{{dl}} {{dt}}} \right)^2} = \frac{{d\left( {{l^2}} \right)}} {{{{\left( {dt} \right)}^2}}}\]$ - а вот, что Вам показалось.

-- Вс ноя 15, 2009 20:11:39 --

Просто, когда имеют ввиду дифференциал квадрата - обычно ставят скобки, а когда квадрат дифференциала - обычно скобки не ставят.

[lexus c.]

ShMaxG в сообщении #262361 писал(а):

$\[{\left( {\frac{{dl}} {{dt}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {dl} \right)}^2}}} {{{{\left( {dt} \right)}^2}}}\]$ - вот, что имелось ввиду.
$ \[{\left( {\frac{{dl}} {{dt}}} \right)^2} = \frac{{d\left( {{l^2}} \right)}} {{{{\left( {dt} \right)}^2}}}\]$ - а вот, что Вам показалось.

-- Вс ноя 15, 2009 20:11:39 --

Просто, когда имеют ввиду дифференциал квадрата - обычно ставят скобки, а когда квадрат дифференциала - обычно скобки не ставят.

Ясно, спасибо!
А мне показалось $\[\frac{{d\left( {{l^2}} \right)}} {{d\left( {{t^2}} \right)}}\]$

Однако же ответ упорно получается не такой как в книге, а
$\[\frac{m} {2}{l^2}{\dot \varphi ^2} + mal\gamma \dot \varphi \sin \left( {\gamma t} \right) + mgl\cos \left( \varphi \right)\] $
В книге же $\[\frac{m} {2}{l^2}{\dot \varphi ^2} + mal{\gamma ^2}\cos \left( {\gamma t} \right)\cos \left( \varphi \right) + mgl\cos \left( \varphi \right)\] $.
Это всё после исключения членов, зависящих только от времени или являющихся полными производными по времени.

[lexus c.]

Всё получилось