Предел с комплексным числом

[EtCetera]

Недавно попался следующий предел:
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{z(z+1)(z+2)\dots(z+n)}\cdot n^z$
$z$ - разумеется, комплексное число.
Чему равен этот предел, я догадываюсь. Собственно, вопрос: как можно найти такой предел (интересует строгое решение и/или некая руководящая идея)?
P.S. Всяческие разные телодвижения, которые сразу же приходят в голову, н-р:
$\prod\limits_{k=0}^n (z+k)=n!z\prod\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{z}{k}+1\right)=$ $n!z\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{z}{k}+1\right)}=n!z\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{z}{k}+1\right)}\sqrt[n]{\left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n}$
и тому подобные ни к чему хорошему не приводят.

[RIP]

Этот предел равен $\Gamma(z)$. Собственно, это (почти) одно из определений гамма-функции Эйлера ($\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{z-1}}{(z)_n}$, где $(z)_n=z(z+1)\ldots(z+n-1)$).

[EtCetera]

RIP
Спасибо, но я, собственно, догадывался, что это гамма-функция.
Тогда всплывает такой вопрос: как можно установить эквивалентность этого определения и более распространенного $\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$, т.е. доказать, что $\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\Rightarrow\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{z(z+1)(z+2)\dots(z+n)}\cdot n^z, z\in\mathbb{C}$ (хотя бы в эту сторону).
P.S. Вот еще пришло в голову: может быть, проще доказать, что $\Gamma(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}\cdot n^x, x\in\mathbb{R}\Rightarrow$ $\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{z(z+1)(z+2)\dots(z+n)}\cdot n^z, z\in\mathbb{C}$?

[ewert]

А почему бы просто не прийти в голову формуле Стирлинга?...

$${n!(z-1)!\over(z+n)!}\cdot n^z\sim\sqrt{2\pi n\over2\pi(z+n)}\cdot(z-1)!\cdot{(n/e)^n\over((z+n)/e)^{z+n}}\cdot n^z\sim1\cdot(z-1)!\cdot e^{-z}\cdot\left({n\over z+n}\right)^{z+n}\to(z-1)!\equiv \Gamma(z).$$

Всё абсолютно честно, т.к. у аргументов гамма-функций мнимая часть фиксирована, а вещественная часть уходит на плюс бесконечность.

[RIP]

Насколько я помню, надо записать интеграл как

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^nt^{z-1}(1-t/n)^ndt$$

и последний посчитать. Это наиболее прямой способ.

[EtCetera]

ewert
Приходила, но тут же ушла. Дело в том, что при использовании формулы Стирлинга надо иметь в виду ее справедливость для комплексных чисел (а для меня это было неочевидно до Вашего поста). Спасибо (и за решение, и за просвещение).

RIP
Спасибо! Это, кажется, как раз то, что нужно.

[ewert]

Ну тогда ещё чуть-чуть просвещения. Все вообще асимптотики такого сорта верны в некоторых секторах комплексной плоскости. В частности, асимптотика Стирлинга верна "почти на всей" плоскости -- точнее, в любом секторе $|\arg z|<\pi$. А уж что она по главному члену верна в любой полуполосе, уходящей вправо -- доказывается вполне элементарно.