Критика преобразований Мёллера

[В. Войтик]

Time в сообщении #260210 писал(а):

...Во-вторых, Вы попытались "запихнуть" двумерную гиперболическую плоскость в алгебру ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ комплексных чисел. Если уж сопоставлять ее, то ГИПЕРБОЛИЧЕСКИ комплексным числам, то есть таким, чья единственная мнимая единица в квадрате дает не минус, а плюс вещественную единицу! Слыхали о такой двухкомпонентой алгебре, ее соответствии с псевдоевклидовым двумерным пространством временем и об h-аналитических функциях над ними?

Нет не слышал. Но вроде о чём-то подобном я как то думал. Типа: вот есть формула $e^{ix}=cosx+isinx$, а почему бы не заменить тригонометрические функции на гиперболические, а $i^2=-1$ на $j^2=1$. Тогда эта формула будет в виде $e^{jx}=chx+jshx$. Вот это $z=x+jt$ и есть гиперболически комплексные числа?

Time в сообщении #260210 писал(а):

Без этих чисел здесь принципиально не обойтись. Так-что, попробуйте повторить попытку, но с заменой обычных комплексных чисел на гиперболически комплексные и h-аналитические функции над ними. Массу приятных впечатлений, причем не только в отношении преобразований МЕллера, а с бесконечномерным множеством их расширений на чуть ли непроизвольные нелинейные преобразования я Вам гарантирую..

Так... Преобразование Мёллера получится в виде
$Z=\frac{1+Wx}{W}e^{jWt}-\frac{1}{W}$
$Z=X+jT$, $j=+-1$
Правильно? Или что-то ещё можно сделать?

Time в сообщении #260210 писал(а):

Что касается Вашего вопроса о моем отношении к конформности Меллеровских преобразовний (что в двухмерии, что в четырехмерном пространстве Минковского), то безусловно они таковыми и являются. Для проверки этого факта совсем не требуется сверяться с аналитичностью соответствующих функций (так как не всегда имеется соответствие с алгеброй), достаточно проверить равенство или неравенство углов между произвольными кривыми до преобразования и после. Преобразования Меллера такому равенству вполне удовлетворяют, хотя бы потому, что исходную сетку ортогональных координатных прямых (а также гиперплоскостей) переводят в сетку также взаимноортогональных окружностей и гипербол (а сетку ортогональных гиперплоскостей в аналогичную сетку взаимноортогональных псевдоримановых сфер).

Ага, я тоже сразу так подумал и хотел так и ответить. А потом стал читать о конформном преобразовании и почему-то подумал, что оно обязательно должно быть аналитичным .

[Time]

Time в сообщении #260210 писал(а):

Так, ещё раз. Вы поймите физиков ведь не интересуют симметрии ради симметрий, просто "шобы було". Всегда интересно отношение к реальности соответствующего математического построения.

Хорошо, давайте еще раз..
Даже если трудно безоговорочно принять, попробуйте хотя бы допустить, что речь не "вообще" о симметриях и "шоб было", а о симметриях пространства-времени! То, что такие не могут болтаться без дела и не иметь последствий именно для физики - поняли, казалось бы, давным давно. Только почему-то это понимание остается до сих пор весьма избирательным. То есть, как изометрические симметрии превращаются в законы сохранения энергии-импульса и т.п. мы понимаем - потому и принимаем без всяких купюр и вопросов. А вот конформные симметрии того же самого пространства - с математической точки зрения кристально ясны, но как и с чем их связать - до сих пор покрыто туманом, потому их обычно стараются просто игнорировать. Вы же сами начали тему, повидимому, подспудно понимая, что так не должно быть. Ведь если Ваша гипотеза, вдруг, окажется верной (хотя я полагаю, здесь все на много тоньше, чем кажется на первый взгляд) и преобразованиям Меллера можно придать физическую интерпретацию, как переходов из ИСО в НСО с постоянным ускорением - это и означало бы пригодность всех симметрий пространства Минковского (а не только изометрических) иметь свою связь с физикой. Мне недавно посчастливилось вживую слышать лекцию С. Вайнберга. Даже он, в выступлении целиком посвященном симметриям пространства Минковского, дав исчерпывающую интерпретацию не только всем подгруппам группы Пуанкаре, но даже затронув однопараметрическую группу дилатаций (растяжений) и дав физическую интерпретацию ей, ни словом не обмолвился о четырехпараметрической подгруппе инверсий относительно сфер (эта подгруппа и составляет основную часть группы Меллера). И это не случайно. Современные физики так до сих пор до конца и не определились, как к этой группе симметрий относиться. То ли, как хотели бы Вы (то есть, интерпретировать как переходы между равноускоренными неинерциальными системами отсчета), то ли, как собирался с этим делом разобраться Герман Вейль (он надеялся связать с этой группой законы сохранения четырехтока), толи еще как. На сколько мне известно, пока ни у кого не получилось так, что бы "нигде не жало". Но проблемы с этой группой инверсий относительно сфер - совершеннейшие цветочки на фоне проблем, что возникают при взгляде на конформную группу в частном случае пространства Минковского, то есть, когда оно сводится к двумерному пространству-времени. В этом случае конформными оказываются не только инверсии относительно гипербол (двумерных аналогов сфер), но бесконечномерное множество самых различных нелинейных преобразований. Что делать с этим добром и как пристроить к нуждам народного хозяйства, сегодня, полагаю, могут ответить, в лучшем случае, несколько человек на планете, да и то на уровне неподтвержденных гипотез. С некоторыми из таких физиков, кто понимает, о чем речь и куда это все ведет, я данную проблему обсуждал. Их общее мнение, что все это весьма серьезно и требует специального и далеко нетривиального исследования. Я с ними целиком согласен и в меру сил, пытаюсь им помогать в решении данной проблемы. Собственно, мой разговор с Вами, а также с Шимпанзе - именно эту цель и преследует.. А Вы говорите "шобы було"..

Цитата:

Я же не возражаю против изучения финслерова пространства. Я просто не понимаю зачем в СТО оно необходимо? Вот в пространстве Минковского имеются 10 симметрий, которые следствием имеют реальные законы сохранения. А эти симметрии в Вашем пространстве имеются? Какие дополнительные симметрии у Вас появляются? Какие новые законы сохранения из них следуют? Пожалуйста ответьте понятнее.

Финслерово пространство необходимо не просто в СТО. В нем просто на автомате, если и будет что-то похожее, то далеко не во всем. Иными словами, с заменой метрики может появиться только сильно другая теория, если угодно, финслеров аналог СТО..
На счет 10 симметрий пр-ва Минковского. В четырехмерном пространстве Бервальда-Моора, которое я считаю гораздо более интересным кандидатом на роль модели реалного пространства-времени аналогичных изометрических симметрий лишь 7 параметрическая группа. Из которой следуют законы сохранения энергии-импульса и сохранения гиперболического момента импульса. Трехпараметрической подгруппы, которая приводила бы к аналогу закона сохранения обычного момента импульса в этом финслеровом пространстве на уровне изометрий нет. Но "нужная" группа есть на более высоких уровнях, в частности в комплексифицированной конформной группе.. Так что, без соответтсвующего закона сохранения все равно не остаемся..
Зато появляется бесконечномерная (а не 15-параметрическая) конформная группа (почти такая же как на комплексной и псевдоевклидовой плоскостях). Как этой группой распорядится может показать только исследование похожей проблемы на псевдоевклидовой плоскости.
Но есть еще, минимум, двух групп нелинейных симметрий, которых даже в зачатке нет в пространстве Минковского. Оба класса также бесконечномерны как и конформная группа, только существенно богаче и интереснее. Их возникновение связано с наличием большего числа метрических инвариантов, коих в псевдоевклиде всего два: длина и угол. По идее эти группы можно надеяться связывать с внутренними симметриями, то есть теми, что сегодня принято ни на чем не основываясь просто постулировать..

В. Войтик в сообщении #260047 писал(а):

Так это не задача, а детский вопрос на сообразительность или на внимательность. Шимпанзе и Морозов думают, что за этим что-то ещё есть. Так вот, они не правы. Поскольку частицы двигаются одинаково, то в любой момент как по часам лабораторной ИСО, так и по их собствееным часам их собственное ускорение будет одинаковым. Это решение фактически было получено в самой первой работе Эйнштейна, когда он нашёл формулу для собственного времени и показал, что это время не зависит ни от начальных координат частиц ни от исходного момента времени.

К сожалению, правы именно они, чуя несоответствие и возможность необычного разрешения видимого лишь немногим парадокса. Я говорю "к сожалению", потому что, не могу c уважением относиться к Морозову, котрый вместе с Котофеичем некогда весьма опрометчиво и незаслуженно "прошелся" по моим друзьям-физикам, кто, минимум, на голову, и эрудированнее, и образованнее, и порядочнее их обоих. К Шипанзе эта характеристика не относится. От него я подобных наглостей и издевок не слышал. Потому и готов общаться, хоть на данную тему, хоть на иную. Другое дело, что все они (и другие, в число которых входит весьма уважаемый мной С.Подосенов) видят решение проблемы с равноускоренной парой пробных тел вне увязки с группой конформных симметрий, ну да именно поэтому они и возятся с этой задачкой уже не один год. Мое мнение, что решение лежит именно в осознании физических интерпретаций конформной группы двумерной псевдоевклидовой плоскости.

В. Войтик в сообщении #260047 писал(а):

Вы забываете, что он это сказал в конце своей научной деятельности. А Эйнштейн в 900-х и в 30-40-х годах - это два разных человека с разным отношением к математике. Интересно, что эти слова Эйнштейна никак не коррелируют с результатами его деятельности в те годы, которые без преуменьшения для физики (но не для математики) можно признать нулевыми.

Меня совершенно не волнует результативность последних десятилетий деятельности Эйнштейна. Важно философское содержание его утверждения, которое, на мой взгляд, вполне может оказаться на много глубже, чем он сам в него вкладывал. Пройдет десяток-другой лет и смотерть на эту цитату многие станут совсем по другому.. Примерно также можно относиться к в чем-то аналогичному утверждению Г.Вейля, который за год до смерти честно признался, что теперь совсем не уверен в правильности некогда сделанного им выбора в пользу квадратичности метрики четырехмерного пространства-времени. И то, что он, как и Эйнштейн, ни на йоту не продвинулся в направлении своих подозрений - ни сколько не умаляет значения сделанного признания.

В. Войтик в сообщении #260047 писал(а):

Да Вы не обижайтесь а просто расскажите, чем же конформные преобразования так хороши.

Да я и не обижаюсь. Я выразил определенное разочарование. К сожалению, не часто встречаются люди, понимающие важность всех симметрий пространства-времени, а не только их отдельного подкласса. В Вашем головном посте я увидел рациональное зерно, которое вот-вот грозит исчезнуть..
Конформные же преобразования хороши тем, что это равноправный с изометриями (если не более важный) класс симметрий пространства-времени, который просто обязан иметь физические последствия. Другое дело, что для осознания, почему это не получилось до сих пор - придется отказаться от очень многого, возможно, даже от квадратичности метрики в четырехмерном случае, о чем, собственно, и заподозрил Г.Вейль.

В. Войтик в сообщении #260047 писал(а):

Ну физиков это не смущает, а математики я слышал просто доопределяют значение функции её пределом в нуле и тоже проблем не имеют.

Это легче всего - отмахнуться от проблемы, или зажмурившись игнорировать бесконечности, связанные с делением на ноль. Не думаю, что такая методика приведет к хорошим последствиям..

[Time]

Цитата:

Нет не слышал. Но вроде о чём-то подобном я как то думал. Типа: вот есть формула , а почему бы не заменить тригонометрические функции на гиперболические, а на . Тогда эта формула будет в виде . Вот это и есть гиперболически комплексные числа?

Попробуйте посмотреть соответствующую главу книги Лаврентьева и Шабата:

http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=144

Только не стОит там искать приложений к геометрии двумерного пространства-времени. Авторы осознанно отказались от этой возможности (которую видели и даже упомянули о ней), в пользу более прозаической интерпретации. То, что Вы написали - близко к истине, правда, как обычно, не ко всей

Цитата:

Правильно? Или что-то ещё можно сделать?

Я смотрю на соответствующие преобразования совсем с другой стороны. Им отвечают дробнолинейные $h$-аналитические функции двойной переменной вида:

$F(h)=(ah+b)(ch+d)^{-1}$

Где $a,b,c,d$- константы из множества $h$-комплексных чисел (из четырех независимы лишь три, у каждой из которых по два вещественных параметра, итого получается шестипараметрическая группа, которую на языке преобразований можно свести к следующей интерпретации: двухпараметрической подгруппе трансляций, однопараметрической подгруппе гиперболических поворотов, однопараметрической подгруппе дилатаций и двухпараметрической подгруппе инверсий относительно гипербол - полследние Вы и хотите связать с введением ускорений).
Для получения привычных покоординатных преобразований в данную формулу нужно подставить в явном виде $h$-комплексное число:

$h=ct+jx$

и перейти к отдельным компонентам.

[В. Войтик]

Time в сообщении #260374 писал(а):

Попробуйте посмотреть соответствующую главу книги Лаврентьева и Шабата:
Только не стОит там искать приложений к геометрии двумерного пространства-времени. Авторы осознанно отказались от этой возможности (которую видели и даже упомянули о ней), в пользу более прозаической интерпретации. То, что Вы написали - близко к истине, правда, как обычно, не ко всей

Уважаемый Time.
Я немного почитал рекомендованную Вами главу. Конформные преобразования, гиперболические, параболические и эллиптические числа как Вы легко догадались это для меня абсолютно новая область. Возможно я действительно недооцениваю конформные симметрии пространства-времени. Тем интереснее с Вами на эту тему поговорить. Извините, если я буду задавать глупые или наивные вопросы.

Цитата:

Я смотрю на соответствующие преобразования совсем с другой стороны. Им отвечают дробнолинейные $h$-аналитические функции двойной переменной вида:

$F(h)=(ah+b)(ch+d)^{-1}$

Где $a,b,c,d$- константы из множества $h$-комплексных чисел (из четырех независимы лишь три, у каждой из которых по два вещественных параметра, итого получается шестипараметрическая группа, которую на языке преобразований можно свести к следующей интерпретации: двухпараметрической подгруппе трансляций, однопараметрической подгруппе гиперболических поворотов, однопараметрической подгруппе дилатаций и двухпараметрической подгруппе инверсий относительно гипербол - полследние Вы и хотите связать с введением ускорений).

Двухпараметрическая группа трансляций и гиперболический поворот имеют очевидную интерпретацию. А вот растяжение (дилатация)? Ведь ещё Галилей установил, что законы природы изменяются при увеличении (уменьшении) всех размеров в определённое количество раз? Или вот инверсия относительно гиперболы? Ведь точки пространства-времени впереди и позади наблюдателя в ускоренной СО не эквивалентны. Почему же Вы считаете, что существуют такие симметрии?

Цитата:

Я смотрю на соответствующие преобразования совсем с другой стороны. Им отвечают дробнолинейные $h$-аналитические функции двойной переменной вида:

$F(h)=(ah+b)(ch+d)^{-1}$

Где $a,b,c,d$- константы из множества $h$-комплексных чисел ...
Для получения привычных покоординатных преобразований в данную формулу нужно подставить в явном виде $h$-комплексное число:

$h=ct+jx$

и перейти к отдельным компонентам.

А как связаны $a,b,c,d$ с ускорением? Функция $F$ - это новая $h$-переменная ускоренной СО?
$F=cT+jX$

-- Вт ноя 10, 2009 19:13:06 --

Time в сообщении #260374 писал(а):

Я смотрю на соответствующие преобразования совсем с другой стороны. Им отвечают дробнолинейные $h$-аналитические функции двойной переменной вида:

$F(h)=(ah+b)(ch+d)^{-1}$

Вот ещё вопрос пришёл в голову. Преобразование обратное дробно-линейному тоже как известно является дробно-линейным. Физически это означает, что Ваше преобразование из лабораторной ИСО в УСО и обратное преобразование из УСО в ЛИСО отличаются лишь некоторыми параметрами типа скорости, углов ориентации, ускорения. Но этого не может быть. Дело в том, что ускоренная СО принципиально отличается от инерциальной. В ней действуют силы инерции. Поэтому преобразования разные. Вы получается предположили, что можно некоторым выбором каких-то параметров так скомпенсировать неинерциальность, что физическое явление в УСО будет эквивалентно такому же явлению в ИСО?

[Time]

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

Возможно я действительно недооцениваю конформные симметрии пространства-времени.

Вы далеко не одиноки в своей недооценке конформных симметрий пространства-времени. Я уже приводил пример С.Вайнберга, который также предпочел обойти стороной этот скользкий вопрос. Тут нужно четко различать два обстоятельства. Первое, заключающееся в том, что конформная группа двумерного псевдоевклидова пространства бесконечномерна как и конформная группа евклидовой плоскости и эта группа просто вопит о необходимости своей физической интерпретации, примерно так же, как имеют свою физическую интрепретацию все без исключения конформные преобразования евклидовой плоскости. Этого же в отношении псевдоевклидовой плоскости пока нет. Интерпретацию имеет только маленькая подгруппа этой бесконечномерной конформной группы, а именно, группа линейных преобразований, сохраняющих интервалы. Утверждение, что все нелинейные конформные преобразования (с оговоркой о возможности указания непрерывной связи с тождественным преобразованием) на псевдоевклидовой плоскости могут интерпретироваться как переходы между неинерциальными системами отсчета - весьма похоже на правду, но это еще нужно скрупулезно доказывать. Такое доказательство, скорее всего, возможно, правда, придется кое от чего весьма привычного и укоренившегося на уровне подсознания - отказаться. Это "кое что" - уверенность физиков, что в плоском пространстве-времени пространственные и временнЫе масштабы во всех точках-событиях совершенно одинаковы (а как же еще иначе?). Оказывается, совершенно не является невозможным обратное утверждение. Даже в плоском двумерном пространстве-времени у наблюдателей связанных с параллельными мировыми линиями время может идти по разному. И "виной" тому - поле связанное с конформным пребразованием. Без этого допущения, думаю, конформным симметриям псевдоевклидовой плоскости никогда не занять своего законного места в физических приложениях..
Можно задать вопрос, почему никто из физиков не обратил внимания на такую удивительную особенность двумерных псевдоевклидовых пространств? Ответ до безобразия прост. При переходе к трех- и четырехмерным псевдоевклидовым пространствам конформная группа резко сокращается с бесконечной размерности до 10 и 15 независимых параметров, соответственно. Зачем, справшивается, городить огород с бесконечной конформной группой в двумерии, если в, казалось бы, более интересных для физики многомерных случаях все это автоматически не будет востребовано? Вот народ и не парился. Думаю, именно поэтому и Лаврентьев с Шабатом не полезли в эту скользкую сторону.. Ради чего копья ломать? Ведь на четырехмерии от подобных смелых шагов все равно ничего не останется.. Вот никто и не лез, и даже ради хохмы не пробовал..
Для меня и моих коллег ситуация совершенно иная. Мы с самого начала не берем четырехмерное пространство Минковского в качестве сколь ни будь удобной модели реального пространства-времени. Для нас таковой на сегодня является четырехмерное пространство с метрикой Бервальда-Моора. Его разница с Минковским как раз и заключается в отношении к конформной группе. Как и в двумерии она бесконечномерна. Поэтому для нас весь "навар", который можно получить на физических интерпретациях конформной группы двумерия окажется без купюр востребованным, и в трех, и в четырех измерениях..

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

Двухпараметрическая группа трансляций и гиперболический поворот имеют очевидную интерпретацию. А вот растяжение (дилатация)? Ведь ещё Галилей установил, что законы природы изменяются при увеличении (уменьшении) всех размеров в определённое количество раз?

Интересно, как он это умудрился установить? Ведь для того, что бы такое утверждать, нужно перейти не просто к в несколько раз бОльшей или меньшей лаборатории, а как бы в новую вселенную, все линейные (и временнЫе) масштабы которой во всех точках-событиях ровно в одинаковое число раз больше или меньше, чем их аналоги в нашей Вселенной. Полагаю, что такой "эксперимент" возможен только мысленно, причем, кому как, а мне кажется его результат вполне очевидным. Пара таких разномасштабных вселенных будут не отличимы друг от друга..

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

Или вот инверсия относительно гиперболы? Ведь точки пространства-времени впереди и позади наблюдателя в ускоренной СО не эквивалентны. Почему же Вы считаете, что существуют такие симметрии?

Я разве когда утверждал, что с инверсиями относительно сфер (гипербол) можно связывать переходы от ИСО к равноускоренным системам отсчета? Эта Ваша гипотеза, которую я с самого первого своего ответа Вам поставил под сильное сомнение. Вспомните про необходимое свойство непрерывной связи с тождественным преобразованием. У инверсий относительно гипербол его нет. Так что, давайте погодим торопиться интерпретировать инверсии относительно сфер, как переходы к УСО из ИСО. С таким же успехом, изометрическое преобразование связанное с изменением знаков с плюса на минус трактовать как переходы к ИСО, направление времени в которых течет в обратную сторону. Нельзя так обращаться с преобразованиями не имеющими непрерывной связи с тождественным преобразованием! Ничего, кроме ерунды и путаницы не получится..

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

А как связаны с ускорением? Функция - это новая -переменная ускоренной СО?

Никак. Это Ваша версия. Я ее не разделяю. Для трактовки неких нелинейных конформных преобразований на псевдоевклидовой плоскости как переходов от инерциальных систем к ускоренным нужна "плавность" перехода от исходной ИСО.

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

Вот ещё вопрос пришёл в голову. Преобразование обратное дробно-линейному тоже как известно является дробно-линейным. Физически это означает, что Ваше преобразование из лабораторной ИСО в УСО и обратное преобразование из УСО в ЛИСО отличаются лишь некоторыми параметрами типа скорости, углов ориентации, ускорения. Но этого не может быть. Дело в том, что ускоренная СО принципиально отличается от инерциальной. В ней действуют силы инерции. Поэтому преобразования разные. Вы получается предположили, что можно некоторым выбором каких-то параметров так скомпенсировать неинерциальность, что физическое явление в УСО будет эквивалентно такому же явлению в ИСО?

Вы хотите от меня сейчас получить ответ, над которым серьезно размышлял еще Мах, допуская, что силы инерции на самом деле обусловлены не выделенностью ускоренных движений, а влиянием всех удаленных тел Вселенной. Эйнштейн, как известно, разделял эту точку зрения. Другое дело, что из самой ОТО српаведливость этой маховской позиции не следует. А из конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости - следует, так как при этих преобразованиях переходят друг в друга именно вселенные, а не отдельные их куски (впрочем, это не запрещает поискать такие конформные преобразования, которые искривляют только отдельные мировые линии, а основные части остаются почти без изменений, я правда, пока таких преобразований не встречал, но это не значит, что их нет в принципе). Кто как, а я конформным симметриям больше доверяю..

[peregoudov]

Time, а ваша фамилия случаем не Павлов?

В. Войтик, вот тут есть кое-какое обсуждение всей этой деятельности.

По поводу упомянутых в теме персонажей могу сказать следующее.

С Владимировым я знаком. Дурак он порядочный. С Подосеновым, Шимпанзе, Морозовым, Котофеичем знаком по форумам. Подосенов --- типичный упертый альт. Прочие персонажи просто полные идиоты (кстати, Котофеич с Подосеновым недавно загрузили очередную дурь в arxiv).

[Time]

peregoudov
Скажите, а среди Ваших знакомых есть не дураки, не упертые альты и не идиоты?

[peregoudov]

Есть. А среди ваших?

[В. Войтик]

Time в сообщении #260597 писал(а):

Этого же в отношении псевдоевклидовой плоскости пока нет. Интерпретацию имеет только маленькая подгруппа этой бесконечномерной конформной группы, а именно, группа линейных преобразований, сохраняющих интервалы.

А при конформных преобразованиях интервалы не обязательно сохраняются? Сохраняются с точностью до масштабного коэффициента? А можете ли Вы порекомендовать и где можно почитать доступный для начинающих обзор по конформным симметриям в пространстве-времени ?

Time в сообщении #260597 писал(а):

... Такое доказательство, скорее всего, возможно, правда, придется кое от чего весьма привычного и укоренившегося на уровне подсознания - отказаться. Это "кое что" - уверенность физиков, что в плоском пространстве-времени пространственные и временнЫе масштабы во всех точках-событиях совершенно одинаковы (а как же еще иначе?). Оказывается, совершенно не является невозможным обратное утверждение. Даже в плоском двумерном пространстве-времени у наблюдателей связанных с параллельными мировыми линиями время может идти по разному. И "виной" тому - поле связанное с конформным пребразованием. Без этого допущения, думаю, конформным симметриям псевдоевклидовой плоскости никогда не занять своего законного места в физических приложениях..

Это будет противоречить однородности пространства и, значит сохранению импульса...

Time в сообщении #260597 писал(а):

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

Двухпараметрическая группа трансляций и гиперболический поворот имеют очевидную интерпретацию. А вот растяжение (дилатация)? Ведь ещё Галилей установил, что законы природы изменяются при увеличении (уменьшении) всех размеров в определённое количество раз?

Интересно, как он это умудрился установить? Ведь для того, что бы такое утверждать, нужно перейти не просто к в несколько раз бОльшей или меньшей лаборатории, а как бы в новую вселенную, все линейные (и временнЫе) масштабы которой во всех точках-событиях ровно в одинаковое число раз больше или меньше, чем их аналоги в нашей Вселенной. Полагаю, что такой "эксперимент" возможен только мысленно, причем, кому как, а мне кажется его результат вполне очевидным. Пара таких разномасштабных вселенных будут не отличимы друг от друга..

Вы пользуетесь "активной" интерпретацией преобразований. Поскольку со Вселенной мы ничего поделать не можем, то в любом случае это лишь предположения. На мой взгляд правильнее пользоваться "пассивным" способом, когда меняется система координат, а не объект.

Time в сообщении #260597 писал(а):

Я разве когда утверждал, что с инверсиями относительно сфер (гипербол) можно связывать переходы от ИСО к равноускоренным системам отсчета? Эта Ваша гипотеза, которую я с самого первого своего ответа Вам поставил под сильное сомнение. Вспомните про необходимое свойство непрерывной связи с тождественным преобразованием. У инверсий относительно гипербол его нет. Так что, давайте погодим торопиться интерпретировать инверсии относительно сфер, как переходы к УСО из ИСО.

Time в сообщении #260345 писал(а):

Это легче всего - отмахнуться от проблемы, или зажмурившись игнорировать бесконечности, связанные с делением на ноль. Не думаю, что такая методика приведет к хорошим последствиям..

Вот здесь я Вас совершенно не понимаю. В обобщённом преобразовании Мёллера нет бесконечности связанной с делением на ноль. Там есть неопределённость типа "ноль на ноль", которую легко раскрыть. Поэтому
можно утверждать, что преобразование Мёллера является непрерывным.

Time в сообщении #260597 писал(а):

В. Войтик в сообщении #260539 писал(а):

А как связаны с ускорением? Функция - это новая -переменная ускоренной СО?

Никак. Это Ваша версия. Я ее не разделяю. Для трактовки неких нелинейных конформных преобразований на псевдоевклидовой плоскости как переходов от инерциальных систем к ускоренным нужна "плавность" перехода от исходной ИСО.

Минуточку. Это Ваша версия, не моя. Вы же говорили:

Time в сообщении #260374 писал(а):

Я смотрю на соответствующие преобразования совсем с другой стороны. Им отвечают дробнолинейные $h$-аналитические функции двойной переменной вида:

$F(h)=(ah+b)(ch+d)^{-1}$

Где $a,b,c,d$- константы из множества $h$-комплексных чисел

Вот я и спрашиваю, чему равны $a,b,c,d$ и что такое $F$.

Time в сообщении #260597 писал(а):

Вы хотите от меня сейчас получить ответ, над которым серьезно размышлял еще Мах, допуская, что силы инерции на самом деле обусловлены не выделенностью ускоренных движений, а влиянием всех удаленных тел Вселенной. Эйнштейн, как известно, разделял эту точку зрения. Другое дело, что из самой ОТО српаведливость этой маховской позиции не следует. А из конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости - следует, так как при этих преобразованиях переходят друг в друга именно вселенные, а не отдельные их куски (впрочем, это не запрещает поискать такие конформные преобразования, которые искривляют только отдельные мировые линии, а основные части остаются почти без изменений, я правда, пока таких преобразований не встречал, но это не значит, что их нет в принципе). Кто как, а я конформным симметриям больше доверяю..

Совершенно не ценю Маха. Сравнительно удачную попытку Эйнштейна развить его принцип можно сравнить только с трудом такой сверхпчелы, которая может принести мёд даже с дурнопахнущего предмета.

[Time]

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

А при конформных преобразованиях интервалы не обязательно сохраняются? Сохраняются с точностью до масштабного коэффициента? А можете ли Вы порекомендовать и где можно почитать доступный для начинающих обзор по конформным симметриям в пространстве-времени ?

При нелинейных преобразованиях, конечно же, интервалы между парами точек до преобразования и после - не сохраняются. Сохраняются углы.. Однако, хочу обратить внимание, что при конформных преобразованиях сохраняется исходная кривизна. То есть, если пространство до преобразования было плоским, то и после него оно останется таким же, во всяком случае, кроме особых точек.. Это отчасти важно в контексте Вашего вопроса ниже на счет отсутствия законов сохранения энергии-импульса.

Касательно почитать.. В начале темы:

topic26519.html

приведена ссылка на книгу Г.Гарасько "Основы финслеровой геометрии для физиков". У него там бесконечномерным конформным группам симметрий и именно в контексте пространства-времени написано довольно много и, на мой взгляд, вполне доступно.

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Это будет противоречить однородности пространства и, значит сохранению импульса...

В том то и прелесть конформных преобразований исходных плоских пространств, что они этой плоскостности не нарушают. Протранство как было трансляционно инвариантным, так таковым и осталось, так что, ни с законом сохранения энергии-импулься, ни с законом сохранения гиперболического момента импульса (в пространстве Минковского его аналог называют лоренцевым моментом импульса) - не появляется. Некоторое своеобразие появляется только в связи с законом сохранения элиптического момента импульса, так как среди изометрий пространств обладающих бесконечной конформной группой часто нет групп SO(n), однако эти группы вращений содержатся как подгруппы конформных групп, так что и тут есть выход из положения..
Если хотите получше понять, почему нелинейные конформные преобразования не нарушают законов сохранения энергии-импульса - приглядитесь еще раз к последствиям аналогичных преобразований (трактуемых именно с активной точки зрения) на комплексной плоскости в связи с их интерпретацией как переходов от плосокпараллельного потока идеальной жидкости к искривленному. Не станете же Вы утверждать, что, например, в потоке связанном с точечным источником или диполем (им соответствуют функции вида $F(z)=ln(z)$ и $F(z)=1/z$), нарушается закон сохранения импульса? А ведь при соответствующих преобразованиях расстояния между парами точек до преобразования и их образами после - также не сохраняются, сохраняются только углы и нулевая кривизна везде, кроме особых точек.

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Вы пользуетесь "активной" интерпретацией преобразований. Поскольку со Вселенной мы ничего поделать не можем, то в любом случае это лишь предположения. На мой взгляд правильнее пользоваться "пассивным" способом, когда меняется система координат, а не объект.

Обратите внимание на ситуацию с подобной проблемой на комплексной плоскости в связи с интерпретацией конформных преобразований там. Там обе точки зрения на преобразования (и пассивная и активная) имеют одинаковые права, однако в прикладных использованиях метода комплексного потенциала привалирует именно активная интерпретация. Точно также должно быть в отношении конформных преобразований h-комплексной плоскости и соответствующего ей псевдоевклидова двумерного пространства-времени. Пассивная точка зрения на преобразования получила преимущества в физике именно из-за отсутствия достаточного богатства конформных преобразований в многомерных квадратичных пространствах. Попробуйте не пренебрегать второй возможностью и использовать ее там, где это рационально.. В полном соответтсвии с аналогичной ситуацией на евклидовой плоскости когда к физике на ней применяется метод комплексного потенциала.

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Вот здесь я Вас совершенно не понимаю. В обобщённом преобразовании Мёллера нет бесконечности связанной с делением на ноль. Там есть неопределённость типа "ноль на ноль", которую легко раскрыть. Поэтому можно утверждать, что преобразование Мёллера является непрерывным.

С геометрической точки зрения, чем меньше требуется придать "ускорение" (в кавычках, потому что не считаю эту величину возможным интерпретировать как ускорение, по крайней мере в обычном смысле этого понятия) бывшей инерциальной системе отсчета, тем больше должен быть "радиус" гиперболы относительно которй происходит инверсия пространства. По любому, это преобразование выворачивает исходгое пространство (и прямые мировые линии в нем) наизнанку. Оно просто не может быть непрерывным, что называется, по определению..

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Это Ваша версия, не моя. Вы же говорили:

Я говорил о форме записи конкретного конформного преобразования или преобразования Меллера, как Вы его называете, но я не говорил о возможности интерпретировать его как переходы к ускоренным системам отсчета. Если хотите услышать геометрический смысл констант, входящих в представленную мною форму преобразования, то они характеризуют: переносы во времени и одномерном пространстве, гиперболический поворот, растяжение (оно же может интерпретироваться как "радиус" гиперболы) и положение центра гиперболы (гиперболической сферы) относительно которой производится инверсия. В такой интерпретации тут нет величины, которую Вы хотите интерпретировать как ускорение. При большом желании (но не думаю, что это правильно), с величиной ускорения можно связывать кривизну гиперболы относительно которой происходит инверсия..

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Вот я и спрашиваю, чему равны $a,b,c,d$ и что такое $F$.

Как понимать $a,b,c,d$ написал выше, а $F$ - просто обозначение $h$-аналитической функции от $h$-комплексной переменной, по аналогии с обозначениями налитических функций от обычной комплексной переменной.

Сравните с, вероятно, более понятной Вм записью:

$F(z)=(az+b)(cz+d)^{-1}$

Константы $a,b,c,d$ тут имеют практически такой же смысл, как и в "моей" формуле, за исключением того, что окружность, относительно которой происходит инверсия тут - обычная, а не гиперболическая.

В. Войтик в сообщении #260891 писал(а):

Совершенно не ценю Маха. Сравнительно удачную попытку Эйнштейна развить его принцип можно сравнить только с трудом такой сверхпчелы, которая может принести мёд даже с дурнопахнущего предмета.

Надеюсь, что это не под влиянием прочтения "Материализма и эмпириокритицизма" В.И.Ленина?
Эйнштейн, например, логику Маха очень ценил и был довольно сильно разочарован, что его теория не привела к полному соответствию с ожиданиями того.. Впрочем, относиться можете, как угодно, сами выводы Маха от этого мало пострадают..

[ИгорЪ]

В. Войтик
http://arxiv.org/abs/hep-th/9108028
Одно из лучших введений в конформную теорию поля, теория сколь красивая столь и трудная.
Что даёт комплексное число при описании евклидовых вращений, то даёт гиперболическое при описании псевдоевклидовых - красивую запись, не более. А для навязывания (псевдо)конформной симметрии нет никаких мотиваций, особенно не в двумерии. Вот в теории двумерных фазовых переходах это имеет быть экспериментально подтверждено, а в СТО - нет.

По поводу Мёллера давно имею крамольную мысль, но сёдня пятница 13 - скажу.
Знаете эффект Унру? Из квантовой теории поля следует, что в ускоренной системе отсчёта рождаются частицы...в то время как в лабораторной их нет, потрясающий повод для эзотериков не правда ли? Реальность разная для разных наблюдателей, более того если ты меняешь своё движение ты сам создаёшь себе реальность. Ну так вот теперь серьёзно. Если вопрос геометрический, т. е. тел нет - никаких проблем, если же есть материя - надо быть готовым к неожиданностям т.к. микроскопические события(рождение частиц в случае ускорения) иногда приводят к макроскопическим следствиям. Каким не знаю. Можно предположить, что неожиданные эффекты возникнут когда тепловой шум будет меньше энергии излучения Унру. Ну например сверхпроводимость есть макроявление, происходящее вследствии квантовомеханических микрообъединений электронов в пары. Сверхпроводимость случается при понижении температуры, когда тепловые флуктуации становятся меньше некоторой энергии-ширины щели. Не знаю есть ли вышесказанное критика Мёллера, но м.б. какие мысли навеются.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #261561 писал(а):

Что даёт комплексное число при описании евклидовых вращений, то даёт гиперболическое при описании псевдоевклидовых - красивую запись, не более.

Вы не учитываете, что важны и интересны не столько сами комплексные числа, а тем более отдельно их мнимая единица, а комплексный анализ, то есть теория аналитических функций комплексной переменной. В свою очередь, последние - напрямую связаны с бесконечномерной группой конформных преобразований евклидовой плоскости. Не будь этого, о комплексных числах знали б лишь узкие специалисты.
Тоже самое и с алгебрами двойных (гиперболически комплексных) чисел. Важна не столько их гиперболическая мнимая единица, сколько $h$-аналитические функции соответствующей переменной и связанные с ними $h$-конформные преобразования.

Time в сообщении #260919 писал(а):

А для навязывания (псевдо)конформной симметрии нет никаких мотиваций, особенно не в двумерии.

Хочу напомнить, что всего четыреста лет назад не было никаких мотиваций для навязывания обычных комплексных чисел, а связанные с ними конформные симметрии научились использовать применительно к векторным физически значимым полям всего то чуть более ста лет назад.
Что касается двумерия, то именно для стоьких измерений пространства-времени и предлагается использовать и (псевдо)конформные симметрии и $h$-аналитические функции двойной переменной. Для четырехмерного пространства-времени предлагается использовать не двойные, а четверные (четырехкомпонентные) гиперболические числа. У них не одна гиперболическая мнимая единица, а три, плюс одна вещественная. Причем это не алгебра кватернионов, так как умножение четверных чисел коммутативно (и ассоциативно). В финслеровом пространстве, соответствующем последней алгебре нет нужды искуственно склеивать бесконечномерную группу двумерных квадратичных пространств и десятимерное пространство-время, как в теории суперструн, это пространство само по себе обладает бесконечной конформной группой, а заодно с нею - еще, минимум, двумя бесконечномерными группами симметрий, включающими конформную в качестве подгруппы, а потому существенно более интересных.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #261663 писал(а):

В свою очередь, последние - напрямую связаны с бесконечномерной группой конформных преобразований евклидовой плоскости.

Против связи нет возражений. Где физика этой связи? Не вижу. Как в СТО использовать конформную симметрию не вижу. Очень хочу конкретных примеров, а не исторической белетристики.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #261691 писал(а):

Против связи нет возражений. Где физика этой связи?

Надеюсь, это вопрос не про связь конформных симметрий евклидовой плоскости и физических полей в двумерном пространстве, которые можно не обсуждать..

ИгорЪ в сообщении #261691 писал(а):

Как в СТО использовать конформную симметрию не вижу. Очень хочу конкретных примеров, а не исторической белетристики.

Во-первых, не в СТО, так как последняя, чуть ли не по определению, имеет дело лишь с изометрическими симметриями, которые являются очень маленькой подгруппой полной $h$-конформной группы псевдоевклидовой плоскости. Нелинейную чать $h$-конформной группы, если и можно связать с релятивистской физикой, то только также с нелинейной. Это заведомо уже не СТО, но еще и не ОТО, так как конформные преобразования не изменяют нулевой кривизны псевдоевклидовой плоскости, которая была до преобразования. Если угодно, конформные симметрии двумерной плоскости можно связать лишь с конформным расширением СТО, о чем, собственно, я и пытался писать выше в рамках данной темы, причем с конкретными примерами.

Во-вторых, не конформные симметрии, а $h$-конформные. При этом важно, что между обычными конформными преобразованиями евклидовой плоскости можно установить взаимнооднозначное соответствие с $h$-конформными преобразованиями псевдоевклидовой плоскости, что и наводит на мысль, что последние уже только на основании такой аналогии могут иметь схожие (но не буквально) физические интерпретации, как и свои элептические прототипы. Вы ведь знаете, что все конформные преобразования евклидовой плоскости при их активной интерпретации принято связывать с потенциальными и соленоидальными векторными полями? Точно также ни что не мешает интерпретировать и все $h$-конформные преобразования, но уже как векторные поля на псевдоевклидовой плоскости. Кстати, также потенциальные и соленоидальные, только в гиперболическом смысле этих понятий.

Хотите конкретные примеры? Пожалуйста.. Выбирайте.. Желательно в сопоставлении с аналогичным конформным преобразованием на евклидовой плоскости. Последние в теории комплексного потенциала принято связывать с аналитическими функциями комплексной переменной. Обычно, в первую очередь во всех учебниках рассматриваются конформные преобразования, связанные с элементарными аналитическими функциями. Например, натуральный логарифм с вещественным (поле точечного источника) или мнимым (поле точечного вихря) множителем. Обратная функция (поле точечного диполя). Квадрат обратной функции (поле точечного квадруполя). И т.д. и т.п. Мое утверждение заключается в следующем: точно также как все конформныме преобразования евклидовой плоскости и соответствующие им аналитические функции комплексной переменной позволяют сопоставлять им физически интерпретируемые векторные поля, точно также и $h$-конформные преобразования со своими $h$-аналитическими функциями двойной переменной позволяют свою физическую интерпретацию как векторных полей в двумерном пространстве-времени. Выберите сами любую аналитическую функцию комплексной переменной, физическая интерпретация которой в виде конкретного векторного поля Вам известна (это, что бы понятней был мой ответный пример на псевдоевклидовой плоскости) и я разложу по полочкам ее гиперболический аналог вместе с его физической интерпретацией в двумерном пространстве-времени. В полной аналогии с Вашим примером на евклидовой плоскости. Если не смогу - соглашусь с Вашей характеристикой, что занимаюсь беллетристикой, а не релятивистской физикой двумерного пространства-времени. Так пойдет?

[В. Войтик]

ИгорЪ в сообщении #261561 писал(а):

В. Войтик
http://arxiv.org/abs/hep-th/9108028
Одно из лучших введений в конформную теорию поля, теория сколь красивая столь и трудная.

Спасибо. Интересно.

ИгорЪ в сообщении #261561 писал(а):

Что даёт комплексное число при описании евклидовых вращений, то даёт гиперболическое при описании псевдоевклидовых - красивую запись, не более. А для навязывания (псевдо)конформной симметрии нет никаких мотиваций, особенно не в двумерии. Вот в теории двумерных фазовых переходах это имеет быть экспериментально подтверждено, а в СТО - нет.

Ага. Особенно меня поразило, что хотя Time согласен, что эксперимент с растяжением Вселенной и растяжением времени можно произвести лишь мысленно, но тем не менее он настаивает, что его результатом будет неотличимость изнасилуемой Вселенной от исходной.

ИгорЪ в сообщении #261561 писал(а):

Знаете эффект Унру? Из квантовой теории поля следует, что в ускоренной системе отсчёта рождаются частицы...в то время как в лабораторной их нет, потрясающий повод для эзотериков не правда ли? Реальность разная для разных наблюдателей, более того если ты меняешь своё движение ты сам создаёшь себе реальность. Ну так вот теперь серьёзно. Если вопрос геометрический, т. е. тел нет - никаких проблем, если же есть материя - надо быть готовым к неожиданностям т.к. микроскопические события(рождение частиц в случае ускорения) иногда приводят к макроскопическим следствиям. Каким не знаю. Можно предположить, что неожиданные эффекты возникнут когда тепловой шум будет меньше энергии излучения Унру. Ну например сверхпроводимость есть макроявление, происходящее вследствии квантовомеханических микрообъединений электронов в пары. Сверхпроводимость случается при понижении температуры, когда тепловые флуктуации становятся меньше некоторой энергии-ширины щели. Не знаю есть ли вышесказанное критика Мёллера, но м.б. какие мысли навеются.

В любом случае ожидаемые эффекты (как и эффект Унру) являются релятивистски-квантовыми. В чисто релятивистском случае даже в присутствии тел ПМСМ ничего непредвиденного не будет.