УМФ, проверьте

[olga0711]

$$U_t=a^2U_{xx} \ (1), U(x,0)=0 \ (2), U(0,t)=U_x(l,t)=q \ (3)$$

Подберем

$$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) \ (4)w(x,0)=q, w_x(l,t)=q \ (5)$$

из

$(3),(4),(5)$$

следует

$$v(o,t)=0, v_x(l,t)=0 \ (6) \ \ w(x,t)=A(t)x+B(t) \ (7) \ $$ $$w(o,t)=(7)=B(t)=(5)=q, \ A(t)=q,$$ \ $$w_x(l,t)=(7)=A(t)=(5)=q, \ B(t)=q,$$ \ $$w(x,t)=qx+q, \ u(x,t)=v(x,t)+qx+q \ (8)$$

\

подставим в (1) и(2) получим:

$$(v+qx+q)_t=a^2(v+qx+q)_{xx} \ v_t=a^2v_{xx} \ (9)$$ $$ u(x,o)=(8)=v(x,0)+qx+q=(3)=0$$ \ $$v(x,o)=-qx-q=-q(x+1) \ (10) \ v(0,t)=0, \ v_x(l,t)=0 \ (6)$$ \ $$v(x,t)=\sum_{k = 1}^{\infty}T_k(t)X_k(x) \ (11) $$ \ $$x

ща еще выложу

$$v(x,t)=\sum_{k = 0}^{\infty}T_k(t)\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l} \ (15),$$ $$\sum_{k = 0}^{\infty}T'_k(t)\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l}=a^2(\sum_{k = 0}^{\infty}T_k(t)(\frac{(2k+1)\pi x}{2l})^2\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l})$$, \ $$\sum_{k = 0}^{\infty}(T'_k(t)+T_k(t)(\frac{(2k+1)\pi x}{2l})^2)\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l}=0$$, $$f_k=0, f_0=0, $$ $$T'_k+(\frac{a\pi k}{l})^2T_k=0, \ T'_0=0, \ $$ v(x,0)=\sum_{k = 0}^{\infty}(T_k(t)\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l})=(10)=-q(x+1),$$

$$T_k(0)=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} (-q(x+1)\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l})dx=$$ $$-\frac{2q}{l} \int_{0}^{l}((x+1)\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l})dx=$$ $$[ u=x+1, dv=\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l}dx,du=dx,v=\frac{(2l)\pi x}{2k+1}\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l}]=$$ $$(x+1)(\frac{(2l)\pi x}{2k+1}\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l})|_{0}^{l}+\frac{(2l)\pi x}{2k+1}\int_{0}^{l}\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l}\frac{(2l)\pi x}{2k+1}((l+1)\sin \frac{(2k+1)\pi x}{2l}+(\frac{2k+1}{2l})^2(\cos\frac{2k+1}{2l}|_{0}^{l}))=$$ $$\frac{2l^2+2l}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}+(\frac{2l}{2k+1})^2(cos\frac{(2k+1)\pi x}{2l}-1)$$

как эту формулу можно свернуть?

$$T_0(0)=\frac{-q}{l}\int_{o}^{l}(x+1)dx=x^2+x|_{0}^{l}=\frac{l^2}{2}+l=\frac{l^2+2l}{2}, $$ $$T'_k(t)+T_k(t)(\frac{a\pi k}{l})^2=0$$ $$r^2+(\frac{a\pi k}{l})^2=0,r=\pm i \frac{a\pi k}{l}$$

$$ T_k(T)=A_k\cos\frac{a\pi k}{l}t+B_k\sin\frac{a\pi k}{l}t \ (18)$$ $$T'_k(T)=-A_k\frac{a\pi k}{l}\sin\frac{a\pi k}{l}t+B_k\frac{a\pi k}{l}\cos\frac{a\pi k}{l}t$$ $$T_k(0)=A_k=\frac{2l^2+2l}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}-(\frac{2l}{2k+1})^2(\cos\frac{(2k+1)\pi}{2}-1)$$ $$B_k=0$$ $$T_k(t)=(\frac{2l^2+2l}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}-(\frac{2l}{2k+1})^2(\cos\frac{(2k+1)\pi}{2}-1))\cos\frac{a\pi k}{l}t$$ $$v(x,t)=(\frac{2l^2+2l}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}-(\frac{2l}{2k+1})^2(\cos\frac{(2k+1)\pi}{2}-1)\cos\frac{a\pi k}{l}t)\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l}$$ $$u(x,t)=(\frac{2l^2+2l}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}-(\frac{2l}{2k+1})^2(\cos\frac{(2k+1)\pi}{2}-1)\cos\frac{a\pi k}{l}t)\sin\frac{(2k+1)\pi x}{2l}+qx+q$$

[ibelov]

Wolfram|Alpha в помощь (попробуйте ввести D[sin(a x)*cos(t),{x,2}] == a^2 D[sin(a x)*cos(t),{t,2}], а дальше сами разберетесь). Или какая-нибудь CAS.

[ShMaxG]

Вы хотите $v\left( {0,t} \right) = 0$ для любого $t$? А с другой стороны, $v\left( {0,0} \right) = - q$, значит $q=0$...
А еще мне показалось, что вы считаете, что

$$\left[ {v\left( {0,t} \right) + w\left( {0,t} \right) = {v_x}\left( {l,t} \right) + {w_x}\left( {l,t} \right)} \right] \Rightarrow \left[ {v\left( {0,t} \right) = {v_x}\left( {l,t} \right),w\left( {0,t} \right) = {w_x}\left( {l,t} \right)} \right]$$

И еще: оформите, чтобы читабельно все было.

-- Вт ноя 10, 2009 22:52:46 --

И еще: $\left( {w\left( {x,0} \right) = q} \right) \Rightarrow \left( {v\left( {x,0} \right) = - q} \right)$ в силу $0 = u\left( {x,0} \right) = v\left( {x,0} \right) + w\left( {x,0} \right)$

[ewert]

1. Вы неправильно проинтегрировали по частям при вычислении $T_k(0)$ (и начали неправильно, и вообще там непонятно что написано).

2. Но независимо от этого -- свернётся результат достаточно круто. В синусе или косинусе от $(\pi k+{\pi\over2})$ просто раскройте скобки (или примените формулу приведения через четверть периода) -- получится или ноль, или $(-1)^k$.

3. В дифференциальное уравнение для $T_k(t)$ зачем-то подставлены неправильные значения собственных чисел (хотя ранее эти числа были найдены верно).

4. Это уравнение (по времени) -- ведь первого порядка; какие ещё там синусы и косинусы?...

Ну а так -- более-менее.