1. Вы неправильно проинтегрировали по частям при вычислении

(и начали неправильно, и вообще там непонятно что написано).
2. Но независимо от этого -- свернётся результат достаточно круто. В синусе или косинусе от

просто раскройте скобки (или примените формулу приведения через четверть периода) -- получится или ноль, или

.
3. В дифференциальное уравнение для

зачем-то подставлены неправильные значения собственных чисел (хотя ранее эти числа были найдены верно).
4. Это уравнение (по времени) -- ведь первого порядка; какие ещё там синусы и косинусы?...
Ну а так -- более-менее.