Плоскости и прямые. Задачи на доказательство.

[Quasus]

AKM в сообщении #260430 писал(а):

Quasus,

прошу обратить внимание на наши правила.
Выкладывание готовых решений учебных задач на форуме не допускается.

Обязательно!

[ИС]

TOTAL в сообщении #260400 писал(а):

Теперь сформулируйте, что такое совпадение двух плоскостей.
(Ведь осталось доказать, что направляющие подпространства для двух совпадающих плоскостей совпадают, а разность векторов сдвига лежит в направляющей плоскости.)

Плоскости Н и $\tilde H$ совпадают, если им принадлежат одни и те же векторы (элементы пространства)...
Аха.
Т.е. если $Н = \tilde H$, тогда сумма какого-то элемента направляющего попространства L с $x_0$ должна равнятся сумме какого-то элемента направляющего подпространства $\tilde L$ c $\tilde x_0$

так...

если я обозначу базис базисные векторы подпространства $L$ как $e_i$, которых n штук, а базис подпространства $\tilde L$ как $\tilde e_i$, тогда, елси
$H = \tilde H$ то это означает, что для каждого $h_i$, найдуться такие $h'_i$ для которых
$x_0 + \sum \limits_{i=1}^{n} h_i \cdot e_i = \tilde x_0 + \sum \limits_{i=1}^{n} h'_i \cdot \tilde e_i $.
(где $h_i$ и $h'_i$ - числа действительные или комплексные)... =) во загнул ))

ну если обозначить $\sum \limits_{i=1}^{n} h_i \cdot e_i = l$, а $\sum \limits_{i=1}^{n} h'_i \cdot \tilde e_i = \tilde l$, тогда

$x_0 +l = \tilde x_0 + \tilde l$ ...

А если еще и предположить что $ L = \tilde L$, то очевидно, что

(1) $x_0 - \tilde x_0 = l - \tilde l$,

что будет означать что
$x_0 - \tilde x_0 \in L$. А это означает (2)что у одной плоскости разница между ее вектороми сдвига всегда принадлежит направляющему подпространству.


А если наоборот предположить что $x_0 - \tilde x_0 \in L$, то тогда из (1) следует что $l - l' \in L$ что означает $ L = \tilde L$. А это означает (2) что у одной и той же плоскости обязательно совпадают направляющие подпространства...

т.е елси $H = \tilde H$, то тогда $L =\tilde L$, а из этого следует что $x_0 - \tilde x_0 \in L$, что было показано выше )))

А если $L =\tilde L$ и $x_0 - \tilde x_0 \in L$, тогда из (2) следует что $H = \tilde H$.

Ура... надеюсь что ура )
похоже на правду хоть чуть чуть?

[Quasus]

Я логику рассуждений вообще не понял.

[TOTAL]

ИС в сообщении #260458 писал(а):

Плоскости Н и $\tilde H$ совпадают, если им принадлежат одни и те же векторы (элементы пространства)...
Аха.
Т.е. если $Н = \tilde H$, тогда сумма какого-то элемента направляющего попространства L с $x_0$ должна равнятся сумме какого-то элемента направляющего подпространства $\tilde L$ c $\tilde x_0$

Ниоткуде не следует, что существуют базисы. Давайте попробуем так. Совпадение плоскостей означает, что для произвольного вектора $l$ из $L$ найдется вектор $\tilde l$ из $\tilde L$ такой, что $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ И наоборот.
Теперь докажите
1) что вектор $x_0 - \tilde x_0$ принадлежит $L$ (а также $\tilde L$)
2) что любой вектор из $\tilde L$ может быть представлен в виде суммы векторов из $L.$ И наоборот. (Что и будет означать совпадение направляющих подпространств $\tilde L$ и $L.$)

[ИС]

TOTAL в сообщении #260463 писал(а):

ИС в сообщении #260458 писал(а):

Плоскости Н и $\tilde H$ совпадают, если им принадлежат одни и те же векторы (элементы пространства)...
Аха.
Т.е. если $Н = \tilde H$, тогда сумма какого-то элемента направляющего попространства L с $x_0$ должна равнятся сумме какого-то элемента направляющего подпространства $\tilde L$ c $\tilde x_0$

Ниоткуде не следует, что существуют базисы. Давайте попробуем так. Совпадение плоскостей означает, что для произвольного вектора $l$ из $L$ найдется вектор $\tilde l$ из $\tilde L$ такой, что $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ И наоборот.
Теперь докажите
1) что вектор $x_0 - \tilde x_0$ принадлежит $L$ (а также $\tilde L$)
2) что любой вектор из $\tilde L$ может быть представлен в виде суммы векторов из $L.$ И наоборот. (Что и будет означать совпадение направляющих подпространств $\tilde L$ и $L.$)

1)
Вот это $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ перепешу как
$x_0 - \tilde x_0 = l - \tilde l$. Если $ l $ и $\tilde l $ принадлежит одному и тому же линейному пространству, то и их разность тоже принадлежит тому же пространству, следовательно и $x_0 - \tilde x_0 \in L$

2)
Прибавляя к элементам L вектор $x_0$ получается плоскость Н и прибавляя к $ \tilde L$ вектор $\tilde x_0$ получаеться та же самая плоскость Н. из $x_0 - \tilde x_0 \in $ направляющему подпространству плоскости Н и из $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ следует что $l- \tilde l \in$ направляющему подпространству плоскости Н, т.е. любой вектор $l$ и соответствующий ему $\tilde l$ содержиться в направляющем подпространстве плоскости Н, а это и означает что L и $\tilde L$ совпадают...

тут тоже что-то не так? (

[TOTAL]

ИС в сообщении #260470 писал(а):

1)
Вот это $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ перепешу как
$x_0 - \tilde x_0 = l - \tilde l$. Если $ l $ и $\tilde l $ принадлежит одному и тому же линейному пространству, то и их разность тоже принадлежит тому же пространству, следовательно и $x_0 - \tilde x_0 \in L$

Вы не доказали, что $x_0 - \tilde x_0 \in L.$

TOTAL в сообщении #260463 писал(а):

Совпадение плоскостей означает, что для произвольного вектора $l$ из $L$ найдется вектор $\tilde l$ из $\tilde L$ такой, что $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ И наоборот.

Используя так сформулированное совпадение плоскостей, докажите, что $x_0 - \tilde x_0 \in \tilde L.$

Подсказка. Какой вектор наверняка принадлежит любому линейному подпространству?

[ИС]

TOTAL в сообщении #260472 писал(а):

Подсказка. Какой вектор наверняка принадлежит любому линейному подпространству?

Нулевой =)

я не понимаю почему мое последнее "доказательство" не доказательство =(

[TOTAL]

ИС в сообщении #260470 писал(а):

Если $ l $ и $\tilde l $ принадлежит одному и тому же линейному пространству, то и их разность тоже принадлежит тому же пространству, следовательно и $x_0 - \tilde x_0 \in L$

Это неверно, т.к. (пока) нельзя утверждать, что $ l $ и $\tilde l $ оба принадлежат $L$

[ИС]

TOTAL
Если я из элементов Н отниму вектор свдига $x_0$ то получиться вектор из пространства L. Если этим элементом будет $\tilde x_0$, то тогда получаеться что$\tilde x_0 - x_0 \in L$, а по аксиоме № какой-то и $x_0 - \tilde x_0 \in L$.
Аналогично $x_0 - \tilde x_0 \in \tilde L$... похоже?

[TOTAL]

ИС в сообщении #260479 писал(а):

Если этим элементом будет $\tilde x_0$, то ... похоже?

А если не будет $\tilde x_0$? Опять не доказали.

TOTAL в сообщении #260463 писал(а):

Совпадение плоскостей означает, что для произвольного вектора $l$ из $L$ найдется вектор $\tilde l$ из $\tilde L$ такой, что $\tilde l+\tilde x_0= l+x_0.$ И наоборот.

Снова возвращаю Вас к этому.

(К сожалению, я должен уйти. Кто-нибудь Вам допоможет.)

[ИС]

Как не будет??? кудаж он денется?
Беру элемент $\tilde x_0$, он принадлежит $H$. Отнимаю от него вектор сдвига. В результате ничего другово кроме как элемента из $L $получиться не может, так как сама плоскость получаеться путем сложения элементов из $L $ и вектора сдвига $x_0$

Ну ладно пусть $\tilde x_0 = 0$ Тогда же ничего не изменится....

[ИС]

TOTAL
Возвращайтесь поскорей кроме Вас мне никто не хочет помогать (((

[ewert]

У меня есть предложение: сформулируйте точно, в какую сторону Вы в данный момент доказываете -- слева направо или наоборот (доказывать одновременно довольно неудобно). И настырно бейте именно в эту точку, и только в эту.

А то тут уж пошла такая пьянка, что и сам чёрт не разберёт, что и куда.

[AKM]

ИС в сообщении #260581 писал(а):

TOTAL
Возвращайтесь поскорей кроме Вас мне никто не хочет помогать (((

ИС, Вы не правы.
Вам многие хотят помочь. Просто не все могут Вам помочь.

Я, например, не в курсе терминологии. В 19хх-ом году меня учили без этих слов. Наверное, я бы решил Вашу задачу, будь она сформулирована в более привычных (мне) терминах. Типа $3D\to 2D$. Но для всех задач, которые мне приходилось решать по жизни (форма унитаза, обеспечивающая наилучшую смываемость при средних характеристиках кала, переходной кусок с одной дороги на другую, обеспечивающий минимум трудностей управления автомобилем, модель оптической системы фотоаппарата, обеспечивающая наилучшее восстановление пространственной картины события по трём-восьми снимкам с разных точек, десяток других задач, --- перечислять не буду) я, вообще-то обходился знаниями матана и ДГ в рамках упомянутого 19хх-го года. За другие задачи, вне моих знаний, я просто не брался. И эта часть математики вне моей памяти.

Так что учите эту науку, понимайте особенности форумного общения, не ждите немедленных ответов, начинайте решать задачу, когда она поступила, а не когда кирдык с зачётом-контрольной.
И делайте это и дальше так -- отдавая себе отчёт в каждом шаге (\copyright ewert).

Мне показалось, что Вам данное сообщение будет полезно.

Всяческих Вам успехов.

[TOTAL]

ewert в сообщении #260584 писал(а):

У меня есть предложение: сформулируйте точно, в какую сторону Вы в данный момент доказываете -- слева направо или наоборот

Сформулируте, что считается известным, что доказываете, и каждое своё утверждение обосновывайте. (Иначе получается "доказательство" типа: вектор принадлежит тому-то, так как куда же он денется.)