Алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора

[KORIOLA]

Уважаемые господа!
Вовсе не претендуя на доказательство теоремы Пифагора, предлагаю вашему вниманию алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора.

© Н. М. Козий, 2007
Авторские права защищены свидетельствами Украины
№ 22108, № 27312 и 28607
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$C^2=A^2+B^2$; (1)
где: $C$ – гипотенуза;
$A, B$ – катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых значения сторон $A, B, C$ выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых значения их сторон выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение (1) имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть уравнения теоремы Пифагора не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
$A^2=C^2-B^2;$ (2)
Для решения уравнения теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение (2) рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром $A$ и переменными $B$ и $C$.
Уравнение (2) в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
$A^2=(C-B)(C+B);$ (3)
Используя метод замены переменных, обозначим:
$C-B=M;$ (4)

Из уравнения (4) имеем:
$C=B+M;$ (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
$A^2=M(B+M+B)=M(2B+M)=2BM+M^2;$ (6)

Из уравнения (6) имеем:
$A^2-M^2=2BM;$ (7)

Из уравнений (4), (5), (6) и (7) имеем:
$B=\frac{A^2-M^2}{2M};$ (8)
$C=\frac{A^2+M^2}{2M};$ (9)

Из уравнений (8) и (9) следует, что необходимым условием для того чтобы числа $B$ и $C$ были целыми, является делимость числа $A^2$ на число $M$ , т. е. число $M$ должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа $A^2$.
Из уравнений (8) и (9) также следует, что числа $A$ и $M$ должны иметь одинаковую четность.
По формулам (8) и (9) определяются числа $B$ и $C$ как переменные, зависящие от значения числа $A,$ как параметра, и значения числа $M$. Числа $B$ и $C$, определенные по формулам (8) и (9), с числом $A$ образуют тройки пифагоровых чисел.
Из изложенного следует:
1. Квадрат простого числа $A$ равен разности квадратов одной пары чисел $B$ и $C$ (при $M=1)$.
2. Квадрат составного числа $A$ равен разности квадратов нескольких пар чисел $B$ и $C$.
3. Все числа $N>2$ являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел $A, B, C$ и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых значения сторон $A, B, C$ выражаются целыми числами.
P.S. В Интернете размещено доказательство великой теоремы Ферма, выполненное Миргородским А. И., в котором он доказал, что теорема Ферма не имеет решения для троек пифагоровых чисел.
Мое мнение, которое может быть спорным: Может быть, из доказательства Миргородского А.И. следует, что теорема Ферма вообще не имеет решения в целых числах.
KORIOLA (Н. М. Козий)

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #258932 писал(а):

3. Все числа $N>2$ являются пифагоровыми.

Вплоть до этого места возражений нет. Здесь же сразу несколько непоняток.
1.Что такое $N$? Ранее в тексте такой символ не встречался.
2. Понятие Пифагоровой тройки - классическое и пояснения не трбует. Но что такое 'Пифагоровы числа' в цитированном утверждении.
3. ПОсле того, как будет ясно с 1 и 2, возможно, пойдет разговор о доказательстве этого утверждения.

При всем этом нужно помнить, что имеется, принадлежащее еще пифагорейцам, полное и гораздо более краткое, чем у Вас, описание всех Пифагоровых троек, с доказательством в две строчки.

[Алексей К.]

shwedka в сообщении #259009 писал(а):

При всем этом нужно помнить, что имеется, принадлежащее еще пифагорейцам, полное и гораздо более краткое, чем у Вас, описание всех Пифагоровых троек, с доказательством в две строчки.

Да, но в те времена могло не иметься Украинского бюро по коллекционированию авторских прав.

[Yarkin]

KORIOLA в сообщении #258932 писал(а):

существует бесконечное ... количество прямоугольных треугольников

Докажите.

[age]

Все что я могу сказать - гениально! Должно быть засвидетельствовано Патентом Украины.

[likusta]

Не знаю правильно ли я рассуждаю, но вот что у меня получилось:
Методом математической индукции я пришел к этому:
$C=2*n!/(n-2)!+1$ Так выражаем гипотенузу, Если n целое тогда у нас есть целочисленное решение.
n=>2 т.к. 0!=1
C=5 A=3 B=4 =>N=2
C=13 A=5 B=12=>N=3
С=25 A=7 B=24=>N=4
и так далее...
$A(n)=A(n-1)+2$
Исходя из этого можем сказать, что количество треугольников бесконечно т.к. B и С тоже растет и зависимость очевидна.
$B=C-1$
А А можем искать уже двумя способами по теореме Пифагора или:
A=(2*С-1)^0.5
Не судите строго.

-- Вс ноя 08, 2009 23:19:16 --

Yarkin в сообщении #259282 писал(а):

KORIOLA в сообщении #258932 писал(а):

существует бесконечное ... количество прямоугольных треугольников

Докажите.

Смотря каких, они могут иметь и не целочисленные решения.

[shwedka]

likusta
Конечно, хорошо, что Вы заинтересовались математическим вопросом, но нужно постараться точнее выражать свои мысли. Вот, прочитайте Ваше сообэение, представив себя на месте другого читателя. Подумайте, что ему стало бы непонятно. Что-то у Вас не определено, какие-то утверждения расплывчато сформулированы.

А если Вам нтересно узнать, что наука знает про Пифагоровы треугольники,
почитайте, например, пятую главу книги
http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ore.djvu?djvuopts&page=58
Там все про уравнение Пифагора подробно и понятно написано. Заодно посмотрите на хороший пример составления математических текстов.

[Yarkin]

likusta в сообщении #259905 писал(а):

Смотря каких, они могут иметь и не целочисленные решения.

Любых. Везде считается, что они существуют, но не доказывается. А надо доказать, что из (1) следует их существование.

[likusta]

shwedka в сообщении #259911 писал(а):

likusta
Конечно, хорошо, что Вы заинтересовались математическим вопросом, но нужно постараться точнее выражать свои мысли.

Извините, пока как получается, я в школе учусь, но естественно, что это не оправдание, попробую лучше написать, если вы не против.

[TOTAL]

Yarkin в сообщении #259282 писал(а):

KORIOLA в сообщении #258932 писал(а):

существует бесконечное ... количество прямоугольных треугольников

Докажите.

Предположив конечность их числа, сразум получим противоречие. Доказательство закончено.

[Батороев]

KORIOLA
На мой взгляд, бесконечность Пифагоровых троек - факт, не требующий доказательства (и тем более, государственных свидетельств).

Очевидно то, что одно из чисел $A$ или $B$ - нечетное.
Как любое нечетное число, квадрат этого нечетного числа может быть представлен в виде разности квадратов двух целых чисел (не менее, чем одним способом $A^2=(\frac{A^2+1}{2})^2-(\frac{A^2-1}{2})^2$).
Т.к. число квадратов нечетных чисел бесконечно, то бесконечно и число таких разложений.
Следовательно, число Пифагоровых троек бесконечно.

[likusta]

(1)$C^2=A^2+B^2$Вот что мы имеем.
$k*C^2=k*A^2+k*B^2$, за к мы принимаем 1, т.к. влияние коэффициента на решение не наблюдается, а если такой имеется можем умножит сторону на квадратный корень коэффициента.
C-гипотенуза
A,B- катеты
n-ход
Теперь я составлю небольшую табличку:
n=1 C=1 A=1 B=0 т.к. сторона не может равняться 0, то это мы это не учитываем.
n=2 C=5 A=3 B=4
n=3 С=13 A=5 B=12
...
Далее я попробовал найти зависимости между n и n-1 начиная с n=2.
Мы замечаем что (2)A(n)=A(n-1)+2, а также что A будет всегда нечетным числом.
(3)B(n)=B*(n-1)+4*(n-1)
(4) C(n)=C*(n-1)+4*(n-1)
Но изначально С=1, а В=0 мы видим это из таблицы.
Дальше я попытался сделать "генератор гипотенузы", который смог бы давать нам целое число, и два катета были бы тоже целыми.
Методом математической индукции я пришел к такому выражению.
(5)
C$С=2*n!/(n-2)!+1$
Получается что n>=2.
А далее получилось.
(6)A=(2*C-1)^0.5
(7)$B=C-1$
Вывод к которому я пришел является, что теорема Пифагора имеет бесконечное количество целочисленных решений.

[shwedka]

likusta
в основном, правильно, и изложение лучше.

likusta в сообщении #260111 писал(а):

Методом математической индукции я пришел к такому выражению.
(5)
$С=2*n!/(n-2)!+1$

Правда, конечно, предпочтительнее было бы иметь здесь более простое выражение для этого числа, без факториалов -- это совсем нетрудно.

likusta в сообщении #260111 писал(а):

Вывод к которому я пришел является, что теорема Пифагора имеет бесконечное количество целочисленных решений.

Вывод правильный, но обычно, когда изучают диофантовы уравнения, то стараются найти все решения. Так что подумайте над вопросом, есть ли решения, которые НЕ даются Вашей формулой.

И всяко, советую еще раз книжку, рекомендованную мной выше, посмотреть. Книжка простая, школьникам доступная. Полезно читать.

[likusta]

shwedka в сообщении #260206 писал(а):

Правда, конечно, предпочтительнее было бы иметь здесь более простое выражение для этого числа, без факториалов -- это совсем нетрудно.

А как я могу это сделать?

shwedka в сообщении #260206 писал(а):

Вывод правильный, но обычно, когда изучают диофантовы уравнения, то стараются найти все решения. Так что подумайте над вопросом, есть ли решения, которые НЕ даются Вашей формулой.

Я думаю что решение тут все целочисленные, а к ним уже нужно подобрать коэффициент.
$k*C^2=k*B^2+k*A^2$.
Ведь когда мы увеличиваем n одна сторона становится меньше, вторая растет.=>что k возможно найти. И получится уже не обязательно целочисленные стороны. Но это надо доказать, тем более что для некоторых чисел, коэффициент будет очень сложно найти. Между C,B и A есть зависимость, если знаем одну величину и коэффициент найдем остальные.

shwedka в сообщении #260206 писал(а):

И всяко, советую еще раз книжку, рекомендованную мной выше, посмотреть. Книжка простая, школьникам доступная. Полезно читать.

Обязательно прочитаю.Спасибо.

[shwedka]

likusta в сообщении #260224 писал(а):

А как я могу это сделать?

А вспомните, что такое факториал. Может, что-то сократится.

likusta в сообщении #260224 писал(а):

Я думаю что решение тут все целочисленные, а к ним уже нужно подобрать коэффициент.
$k*C^2=k*B^2+k*A^2$.

Вы плохо прочитали вопрос. Важно в математике очень внимательно читать каждое слово.
Я спросила, есть ли решения, которые НЕ даются Вашей. Вы же пытаетесь что-то получить Вашей формулой.
Вот, подумайте над примером,
$20^2+21^2=29^2$
здесь неверно, что

likusta в сообщении #260111 писал(а):

(7)$B=C-1$

То есть Вашим методом эту тройку получить нельзя.