Решить уравнение в целых числах

[srider0000]

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

[RIP]

Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.

[srider0000]

RIP в сообщении #260129 писал(а):

Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.

И что? Если подставить туда, например, $y=3k+1$, то получим $2^x=3k^2+2k$.
Как найти ограничение на $k$ сверху?

[RIP]

srider0000 в сообщении #260151 писал(а):

И что?

Одно из чисел $y\pm1$ не делится на $4$.

[Батороев]

srider0000 в сообщении #260151 писал(а):

RIP в сообщении #260129 писал(а):

Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.

И что?

Это значит, что делители числа $3\cdot2^x$ можно разложить на две группы - на $2$ натуральных множителя, разность между которыми равна $2$.

[AKM]

srider0000 в сообщении #260126 писал(а):

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

[Батороев]

AKM в сообщении #266969 писал(а):

srider0000 в сообщении #260126 писал(а):

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Это предложение дописать решение или что-то другое?

$3\cdot 2^x=(y+1)(y-1)$

Разбиваем число $3\cdot 2^x$ на два натуральных множителя $(y + 1)(y-1)$, отличающихся друг от друга на 2:
$3\cdot 2^z$ и $ 2^{x-z}$ (где $z<x$).

$3\cdot 2^{z}}-2^{x-z}=\pm 2$

$ 2\cdot (3\cdot 2^{z-1}-2^{x-z-1})=\pm 2$

$3\cdot 2^{z-1}-2^{x-z-1} =\pm 1$

откуда $ z-1 =0 $ или $z=1$.

Тогда $x-z-1=1; 2 $ или $x=3; 4$.

[AKM]

Батороев в сообщении #267062 писал(а):

Это предложение дописать решение или что-то другое?

Это что-то нечаянное при переносе темы. Ну да, наверняка вместо "Правка" нажал "Цитата". Утром, помню, хотел дополнить заголовок (и дополнил, но не там), и, спеша на московский автобус, нажал, видимо, не ту кнопку. Щас заинтернетился --- вижу ерунду запостил.

Извините.

[Профессор Снэйп]

srider0000 в сообщении #260126 писал(а):

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Да вроде понятно.

$3 \cdot 2^x + 1 = 9k^2 \pm 6k + 1$
$2^x = 3k^2 \pm 2k = k(3k \pm 2)$
$k = 2^z$ и $3k \pm 2 = 2^t$
$3 \cdot 2^{z-1} \pm 1 = 2^{t-1}$

При $z > 1$ и $t > 1$ слева от знака равенства стоит нечётное число, а справа чётное. Далее разбор случаев.

[kahey]

srider0000 в сообщении #260126 писал(а):

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Если у=2k, то x=0 и
$3+1=4k^2$
Значит
х=0, у=2;
х=0, y=-2;

Если у=2k+1,то
$3\cdot2^x=4k(k+1)$
Значит
либо k=3, либо k=-3,
либо k+1=3, либо k+1=-3
Перебором видно, что все 4 варианты подходят .
Далее находим x.

[ewert]

Батороев в сообщении #267062 писал(а):

Разбиваем число $3\cdot 2^x$ на два натуральных множителя $(y + 1)(y-1)$, отличающихся друг от друга на 2:
$3\cdot 2^z$ и $ 2^{x-z}$ (где $z<x$).

На $3\cdot2^m$ и $2^n$, где $n,m\geqslant0$; тупо перебираем:

$n=0$: подходит $m=0$;

$n=1$: ничего не подходит;

$n=2$: подходит $m=1$;

$n=3$: подходит $m=1$;

$n\geqslant4$: тогда $3\cdot2^m$ составляет либо не менее чем ${3\over2}$ от $2^n$, либо не более чем ${3\over4}$ от него. В обоих случаях зазор больше двойки (т.к. само $2^n\geqslant16$), так что ничего не подходит.

(это в порядке вульгаризации решения)

[fer1800]

srider0000 в сообщении #260126 писал(а):

$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

обозначим y=z+1;
Тогда
$3*2^x=z^2+2z$
Очевидно z делится на 2.
Ясно, также, что
$3*2^x$ делится на z
Это возможно, только в двух случаях:
$z=2^n$
или
$z=32^m$

1)$z=2^n$
$3*2^x=2^2^n+2^{n+1}$
Общий делитель - степень двойки, поэтому возможно всего два варианта после сокращения на общий множитель:
$3*2^k=1+1$, где k любое
и
$3=2^k+1$, где k=n-1.
2)$z=32^m$
$2^x=2^2^m+3*2^{m+1}$
Общий делитель - степень двойки.
Возможно два варианта:
$1=2^k+3$, где m-1=k
и
$2^k=1+3$, что возможно, если 2m=m+1, т.е. m=1

[Xenia1996]

Более простое решение (да простит меня модератор за некропостинг):

Переписываем уравнение в виде $3\cdot 2^x=(y+1)(y-1)$
Так как $(y+1)-(y-1)=2$, имеем $\text{НОД}\{(y+1), (y-1)\}\in\{1, 2\}$
Если НОД - единичка, имеем 2 решения: (0, 2) и (0, -2).
Если нет, то либо одно из чисел - двойка, а другое - утроенная степень двойки (но сие не катит), либо наоборот - одно число равно 6, а другое - степени двойки (получаем ещё 4 решения: (3, 5), (3, -5), (4, 7), (4, -7)).

Итого, шесть решений.

[victor.l]

Потеряны два решения при $x=0$