2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решить уравнение в целых числах
Сообщение09.11.2009, 15:50 
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение09.11.2009, 15:56 
Аватара пользователя
Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение09.11.2009, 16:34 
RIP в сообщении #260129 писал(а):
Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.


И что? Если подставить туда, например, $y=3k+1$, то получим $2^x=3k^2+2k$.
Как найти ограничение на $k$ сверху?

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение09.11.2009, 16:40 
Аватара пользователя
srider0000 в сообщении #260151 писал(а):
И что?
Одно из чисел $y\pm1$ не делится на $4$.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение10.11.2009, 08:02 
srider0000 в сообщении #260151 писал(а):
RIP в сообщении #260129 писал(а):
Перепишите уравнение в виде
$3\cdot2^x=(y-1)(y+1)$.


И что?

Это значит, что делители числа $3\cdot2^x$ можно разложить на две группы - на $2$ натуральных множителя, разность между которыми равна $2$.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах 3*2^x+1=y^2
Сообщение01.12.2009, 07:03 
Аватара пользователя
srider0000 в сообщении #260126 писал(а):
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах 3*2^x+1=y^2
Сообщение01.12.2009, 14:41 
AKM в сообщении #266969 писал(а):
srider0000 в сообщении #260126 писал(а):
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Это предложение дописать решение или что-то другое?

$3\cdot 2^x=(y+1)(y-1)$

Разбиваем число $3\cdot 2^x$ на два натуральных множителя $(y + 1)(y-1)$, отличающихся друг от друга на 2:
$3\cdot 2^z$ и $ 2^{x-z}$ (где $z<x$).

$3\cdot 2^{z}}-2^{x-z}=\pm 2$

$ 2\cdot (3\cdot 2^{z-1}-2^{x-z-1})=\pm 2$

$3\cdot 2^{z-1}-2^{x-z-1} =\pm 1$

откуда $ z-1 =0 $ или $z=1$.

Тогда $x-z-1=1; 2 $ или $x=3; 4$.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение01.12.2009, 18:30 
Аватара пользователя
Батороев в сообщении #267062 писал(а):
Это предложение дописать решение или что-то другое?
Это что-то нечаянное при переносе темы. Ну да, наверняка вместо "Правка" нажал "Цитата". Утром, помню, хотел дополнить заголовок (и дополнил, но не там), и, спеша на московский автобус, нажал, видимо, не ту кнопку. Щас заинтернетился --- вижу ерунду запостил.

Извините. :oops:

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах 3*2^x+1=y^2
Сообщение02.12.2009, 13:50 
Аватара пользователя
srider0000 в сообщении #260126 писал(а):
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Да вроде понятно.

$3 \cdot 2^x + 1 = 9k^2 \pm 6k + 1$
$2^x = 3k^2 \pm 2k = k(3k \pm 2)$
$k = 2^z$ и $3k \pm 2 = 2^t$
$3 \cdot 2^{z-1} \pm 1 = 2^{t-1}$

При $z > 1$ и $t > 1$ слева от знака равенства стоит нечётное число, а справа чётное. Далее разбор случаев.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение22.01.2010, 12:26 
srider0000 в сообщении #260126 писал(а):
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

Если у=2k, то x=0 и
$3+1=4k^2$
Значит
х=0, у=2;
х=0, y=-2;

Если у=2k+1,то
$3\cdot2^x=4k(k+1)$
Значит
либо k=3, либо k=-3,
либо k+1=3, либо k+1=-3
Перебором видно, что все 4 варианты подходят .
Далее находим x.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах 3*2^x+1=y^2
Сообщение22.01.2010, 12:58 
Батороев в сообщении #267062 писал(а):
Разбиваем число $3\cdot 2^x$ на два натуральных множителя $(y + 1)(y-1)$, отличающихся друг от друга на 2:
$3\cdot 2^z$ и $ 2^{x-z}$ (где $z<x$).

На $3\cdot2^m$ и $2^n$, где $n,m\geqslant0$; тупо перебираем:

$n=0$: подходит $m=0$;

$n=1$: ничего не подходит;

$n=2$: подходит $m=1$;

$n=3$: подходит $m=1$;

$n\geqslant4$: тогда $3\cdot2^m$ составляет либо не менее чем ${3\over2}$ от $2^n$, либо не более чем ${3\over4}$ от него. В обоих случаях зазор больше двойки (т.к. само $2^n\geqslant16$), так что ничего не подходит.

(это в порядке вульгаризации решения)

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение22.01.2010, 21:03 
srider0000 в сообщении #260126 писал(а):
$3\cdot2^x+1=y^2$

Понятно, что когда $x\neq0$, $y=3k\pm1$. Но как это дальше использовать, вообще не понятно...

обозначим y=z+1;
Тогда
$3*2^x=z^2+2z$
Очевидно z делится на 2.
Ясно, также, что
$3*2^x$ делится на z
Это возможно, только в двух случаях:
$z=2^n$
или
$z=32^m$

1)$z=2^n$
$3*2^x=2^2^n+2^{n+1}$
Общий делитель - степень двойки, поэтому возможно всего два варианта после сокращения на общий множитель:
$3*2^k=1+1$, где k любое
и
$3=2^k+1$, где k=n-1.
2)$z=32^m$
$2^x=2^2^m+3*2^{m+1}$
Общий делитель - степень двойки.
Возможно два варианта:
$1=2^k+3$, где m-1=k
и
$2^k=1+3$, что возможно, если 2m=m+1, т.е. m=1

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение16.06.2011, 12:30 
Более простое решение (да простит меня модератор за некропостинг):

Переписываем уравнение в виде $3\cdot 2^x=(y+1)(y-1)$
Так как $(y+1)-(y-1)=2$, имеем $\text{НОД}\{(y+1), (y-1)\}\in\{1, 2\}$
Если НОД - единичка, имеем 2 решения: (0, 2) и (0, -2).
Если нет, то либо одно из чисел - двойка, а другое - утроенная степень двойки (но сие не катит), либо наоборот - одно число равно 6, а другое - степени двойки (получаем ещё 4 решения: (3, 5), (3, -5), (4, 7), (4, -7)).

Итого, шесть решений.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в целых числах
Сообщение07.01.2012, 21:44 
Потеряны два решения при $x=0$

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group