Задача по метрическим пространствам

[amiable]

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу повышенной сложности.
Пусть $(X, \rho)$ - компактное метрическое пространство, а преобразование f таково, что $\rho(f(x), f(y))>=\rho(x, y)$. Доказать, что f(X)=X и что f - изометрия.

Я здесь пока вижу только инъективность f.

[amiable]

Это мне не на зачет или контрольную, просто хочу разобраться.

[id]

topic16887-30.html
Внизу - ссылка на статью.

[amiable]

Не согласен с решением. Утверждение "Поэтому точка (x, y) является предельной для последовательности S" в общем случае неверно. Поскольку S - сходящаяся, то она имеет единственную предельную точку - свой предел, которой только и может быть (x, y). Но это не может следовать из того, что
$0=\lim_{j>i\rightarrow\infty}\rho(f^{k_i}(x), f^{k_j}(x))\ge\lim_{j>i\rightarrow\infty}\rho(x, f^{k_j-k_i}(x))$, так как разность $k_j-k_i$ не обязательно является индексом сходящейся подпоследовательности S.
Вот предложенное мне решение Доценка.
Я до сих пор не смог найти решения этой задачи - то, что имеется на форуме, ошибочно.

[id]

amiable
Cсылку на это решение от В.В. Доценко я и имел ввиду, если что.

Не понимаю, что вам не нравится? Мы выбрали сходящуюся подпоследовательность ${(f^{k_i} x,f^{k_i} y)}$ точек компакта $K \times K$. У нее последовательность как первых, так и вторых координат сходится по определению топологии произведения.
Предел тот равен $0$ в силу фундаментальности.

Предельная точка - это не то же самое, что предел, кстати.

-- Вс ноя 08, 2009 15:19:36 --

И, кстати, зря вы так ругаетесь на найденное на форуме решение. Оно правильное, но в самом деле чуть неряшливо записано.

[amiable]

Предел - это предельная точка; для сходящейся последовательности множество предельных точек состоит из единственного элемента - её предела.

Цитата:

Предел тот равен 0 в силу фундаментальности.

Это и не отрицается.

Но из полученного неравенства не следует, что первые координаты подпоследовательности стремятся к x, а вторые к y, потому что, как я сказал, разность $k_j-k_i$ не обязательно является индексом сходящейся подпоследовательности последовательности S, а только индексом некоторой другой подпоследовательности $(f^k(x), f^k(y))$. Поэтому (x, y) будет предельной точкой, но не обязательно для S, а для исходной подпоследовательности $(f^k(x), f^k(y))$. Нельзя утверждать, что (x, y) - предельная точка S, вот в чём проблема!

[amiable]

Ну, как же достаточно?! Ведь (x, y) - предельная точка нефундаментальной $(f^k(x), f^k(y))$, а не S, и дальнейшие рассуждения не проходят! Прочитайте внимательно решение Доценко и мое сообщение.

Добавлено:
Это был ответ на сообщение от ewert, которое исчезло, пока он набирался. Но решение Доценко, тем не менее, представляется неверным.

[RIP]

amiable в сообщении #259730 писал(а):

Поэтому (x, y) будет предельной точкой, но не обязательно для S, а для исходной подпоследовательности $(f^k(x), f^k(y))$. Нельзя утверждать, что (x, y) - предельная точка S, вот в чём проблема!

Видимо, в решении опечатка. Действительно, нельзя утверждать, что $(x,y)$ --- предельная точка $S$, но это и не нужно. Достаточно того, что $(x,y)$ предельная для $(f^k(x), f^k(y))$.

[ewert]

В решении не очипятка, в решении разгильдяйство. Я вот думаю, как это решение в чувство привесть, но пока не получается...

[amiable]

amiable в сообщении #259769 писал(а):

Ну, как же достаточно?! Ведь (x, y) - предельная точка нефундаментальной $(f^k(x), f^k(y))$, а не S, и дальнейшие рассуждения не проходят! Прочитайте внимательно решение Доценко и мое сообщение.

Мы спасены!
Эта незначительная ошибка в доказательстве жутко сбивает с толку, но оно, тем не менее, верное. Доценко правильно показал, что (x, y) - предельная точка исходной последовательности ($(f^k(x), f^k(y))$, а не S, как написано), а неравенство $\rho(f(x), f(y)) - \rho(x, y) > \epslion$ исключает её существование, так как из него следует $\rho(f^k(x), f^k(y)) - \rho(x, y) > \epsilon$ для любого k, дальше использовать неравенство четырёхугольника. Противоречие!
Наконец-то я нашёл решение этой задачи. Ещё раз большое спасибо за ссылку!

[maxal]

задача уже обсуждалась - см.
topic3487.html
topic17017.html