Задача про квадратные трёхчлены(логика)

[feag]

Здравствуйте!Подскажите, пожалуйста.
Даны три квадратных трёхчлена, с отличными друг от друг коэф.
Любые два имеют одну общую точку.
Д-ть, что все они имеют ТОЛЬКО одну общую точку.

Мне она показалась идентичной ,решенной мной задаче:
Даны пять окружностей, любые четыре из них имеют
общую точку.
Д-ть, что все они имеют общую точку.
Р-ние:
Пусть А -точка через которую проходят 1 2 3 4 окружность
Б- точка - 2 3 4 5 окружностей
С- точка 1 2 4 5 окружностей
но так как окр 2 и 4 могут иметь только 2 общие точки то две из них совпадают.

Но вот спроэцировать решение второй на первую что- то не получается...

[ИСН]

В условии первой задачи пропущено какое-то критически важное пояснение. Какое - не догадываюсь.
В той формулировке, что сейчас, получается ерунда.

[gris]

Попарные разности Ваших парабол будут параболами, касающимися оси абсцисс.
Во фразе "любые два многочлена имеют общую точку" ведь имеется в виду "только одну"?

[ИСН]

Ах, это. Графики их, значит, чтобы имели общие точки. (Я почему-то понял в другом смысле, типа "общие корни".) Тогда да, конечно.

[gris]

Я бы улучшил постановку задачи.
Доказать, что три параболы с различными эксцентриситетами, попарно имеющие ровно по одной общей точке, проходят через эту точку.
Но тут логика должна работать, а не алгебра. Может использовать то, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна парабола?

[TOTAL]

Ерунда всё это. Не имеют они одной общей точки.
Вторая касается изнутри первой, а третья сидит внутри второй.

Извиняюсь, ошибся, здесь третья не пересекается с первой.

[Maslov]

TOTAL в сообщении #259034 писал(а):

Вторая касается изнутри первой, а третья сидит внутри второй.

А третья с первой тогда где касаются/пересекаются?

[gris]

TOTAL, собственно, и подсказал "логическое" решение. Параболы обязаны касаться. Однонаправленные одним способом, а разнонаправленные другим. А в моей формулировке не хватает условия параллельности осей.

[EtCetera]

А тройка парабол
$y_1(x)=x^2-1$
$y_2(x)=(x-1)^2$
$y_3(x)=(x+1)^2$
разве не является контрпримером к 1-ой задаче?
Или я не правильно понял условие?

[Maslov]

EtCetera в сообщении #259041 писал(а):

А тройка парабол
$y_1(x)=x^2-1$
$y_2(x)=(x-1)^2$
$y_3(x)=(x+1)^2$
разве не является контрпримером к 1-ой задаче?
Или я не правильно понял условие?

Коэффициенты должны быть разными.

[gris]

Причём достаточно попарного различия только старших коэффициентов ($\equiv$ эксцентриситетов)

[EtCetera]

Maslov

Maslov в сообщении #259042 писал(а):

Коэффициенты должны быть разными.

Спасибо, не заметил.

Но в этом случае задача действительно похожа на задачу с окружностями, только несколько проще.
Лемма.
2 параболы, которые задаются уравнениями с попарно различными коэффициентами, могут иметь только одну общую точку, и в этой точке они касаются друг друга.
Отсюда доказываемое утверждение следует практически мгновенно. Остается доказать собственно лемму...

[Maslov]

EtCetera в сообщении #259053 писал(а):

Лемма.
2 параболы, которые задаются уравнениями с попарно различными коэффициентами, могут иметь только одну общую точку, и в этой точке они касаются друг друга

Не так. Они имеют одну общую точку только в том случае, если касаются (в остальных случаях - или две, или ни одной). А доказывать тут особенно нечего - достаточно приравнять уравнения и выразить корни через коэффициенты.

-- Пт ноя 06, 2009 16:37:15 --

Но при этом ещё надо доказать, что три параболы не могут попарно касаться в разных точках.

[EtCetera]

Maslov

Maslov в сообщении #259057 писал(а):

Они имеют одну общую точку только в том случае, если касаются (в остальных случаях - или две, или ни одной).

Я, в общем-то, именно это и имел в виду. Только сформулировал крайне неудачно.

Maslov в сообщении #259057 писал(а):

Но при этом ещё надо доказать, что три параболы не могут попарно касаться в разных точках.

М-да, как-то я этот момент пропустил...

[AKM]

gris в сообщении #259044 писал(а):

Причём достаточно попарного различия только старших коэффициентов ($\equiv$ эксцентриситетов)

gris,
я до сих пор думал, что эксцентриситет у всех квадратичных парабол 1 (один). Вы, вероятно, имеете в виду фокальный параметр.