Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Уменьшить константу не удалось. Итак, теперь минимальная магическая константа квадрата 6-го порядка из произвольных смитов находится в интервале от 2460 до 2472. Но с константой 2460 скорее всего магического квадрата не существует, программа отработала до конца и ничего не нашла.
Провела эксперимент с тем самым массивом, из которого раньше был построен магический квадрат 6-го порядка. Кстати, ваша программа сгенерировала тоже 833 строки из этого массива, как и моя программа. Получила 5 магических квадратов; на первый взгляд все они не являются эквивалентными (тщательно не проверяла). Вот эти квадраты:

682681  22  3004402  20362  2362  1446934  
94  3004618  682393  1446106  20974  2578  
1446142  2902  20542  3004654  346  682177  
21262  1446178  562  1966  682609  3004186  
3004762  681817  2326  778  1446574  20506  
1822  21226  1446538  682897  3003898  382  

22  1446934  3004186  20362  682681  2578  
20974  2362  682609  1446106  94  3004618  
2902  682177  20542  3004654  1446142  346  
3003898  382  1446538  682897  1822  21226  
1446574  20506  2326  778  3004762  681817  
682393  3004402  562  1966  21262  1446178  

3004186  682681  22  2578  1446934  20362  
682609  94  20974  3004618  2362  1446106  
20542  1446142  2902  346  682177  3004654  
562  21262  682393  1446178  3004402  1966  
2326  3004762  1446574  681817  20506  778  
1446538  1822  3003898  21226  382  682897  

682681  2578  3004186  20362  22  1446934  
94  3004618  682609  1446106  20974  2362  
1446142  346  20542  3004654  2902  682177  
21262  1446178  562  1966  682393  3004402  
3004762  681817  2326  778  1446574  20506  
1822  21226  1446538  682897  3003898  382  

682681  22  3004186  20362  2578  1446934  
94  3004618  682609  1446106  20974  2362  
1446142  2902  20542  3004654  346  682177  
21262  1446178  562  1966  682393  3004402  
3004762  681817  2326  778  1446574  20506  
1822  21226  1446538  682897  3003898  382  

[Nataly-Mak]

В своей статье ”Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел” нашла пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел:

7 71 227 181 367
137 241 277 67 131
337 127 41 197 151
101 107 211 397 37
271 307 97 11 167

Насчёт его минимальности ничего не могу сказать. Магическая константа квадрата равна 853.
Как я уже говорила, пандиагональный квадрат 6-го порядка из простых чисел показан в этой ветке (см. стр. 54). Этот квадрат ещё и из последовательных простых чисел. Магическая константа равна 930. Вполне возможно, что этот квадрат тоже не наименьший – для произвольных простых чисел может существовать пандиагональный квадрат с меньшей магической константой.

Задача: построить наименьшие пандиагональные квадраты 5-го и 6-го порядков (а также и всех следующих) из простых чисел (в классическом определении). Та же задача для пандиагональных квадратов из последовательных простых чисел. Для порядка 6 мы уже имеем такой квадрат. Остаётся только проверить, является ли он наименьшим.
Поскольку магические квадраты всех порядков из простых чисел легко строятся по программам ice00, надо только добавить в эти программы проверку пандиагональности.

Вчера попробовала по программе 12d3 построить магический квадрат 6-го порядка из простых чисел. И вот она – разница! Если для смитов генерировалось от 833 до 2127 оригинальных строк (для разных массивов), сумма чисел в которых равна магической константе, то для простых чисел таких строк сгенерировалось больше 12 тысяч. И программа надолго задумалась. Наверное, из такого количества строк ей трудно “вырулить”.

Кажется, в статье "Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита" есть пандиагональный квадрат 5-го порядка. Сейчас проверю его, в нём очень большие числа.

12d3
Как у вас дела с магическим квадратом 5-го порядка из последовательных смитов? Не находится? Теперь из последовательных смитов осталось найти квадраты порядков 3 - 5 и 7 - 9. Квадрат 6-го порядка я вчера построила по вашей программе. А из произвольных смитов осталось построить всего три квадратика: порядков 7 - 9. Правда, я не уверена в минимальности найденной вчера константы квадрата 6-го порядка - $2472$. Может быть, кто-нибудь сможет уменьшить эту константу.

[Nataly-Mak]

Да, квадрат 5-го порядка из смитов в моей статье оказался пандиагональным. Вот этот квадрат:

627 4619515 4653553 6633256 11989264
6633265 11989273 636 4619479 4653562
4619488 4653526 6633274 11989282 645
11989291 654 4619497 4653535 6633238
4653544 6633247 11989255 663 4619506

Квадрат построен из 5 арифметических прогрессий длиной 5 с одинаковой разностью. Одну из этих прогрессий я нашла сама: 627 + 9n, n = 0, 1, ..., 4. Остальные 4 взяла из прогрессий, которые выложены пользователем 12d3 на форуме Портала Естественных Наук.
Аналогичный квадрат можно построить для порядка 7, у нас есть 7 арифметических прогрессий длины 7 из смитов с одинаковой разностью.
Однако магические константы этих квадратов очень большие. Задача состоит в том, чтобы построить наименьшие пандиагональные квадраты из смитов (произвольных и последовательных)

[Nataly-Mak]

А куда тут народ подевался? Мне одной очень скучно

Нашла пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел с магической константой $240$ (выше показан такой квадрат с константой $408$). Вариантов очень много. Вот один:

13  83  31  113 
 97  47  79  17 
 89  7  107  37 
 41  103  23  73

Есть ли пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел с ещё меньшей константой?

[Nataly-Mak]

У меня такая гипотеза всеобщего молчания: ни у кого нет новостей Правильная гипотеза?
А у меня новости есть, поэтому позвольте - я продолжу тут говорить в гордом одиночестве
Доработала две последовательности: А164843 и А073502, построила магические квадраты до порядка 35 включительно, для многих порядков есть несколько вариантов массива. Все варианты для последовательности А164843 можно посмотреть здесь. А основные квадраты для этой последовательности в статье:
http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin2.htm
В этой же статье и основные квадраты для последовательности А073502, варианты для этой последовательности пока не загрузила на сайт, файл готов вчерне.
Все варианты квадратов строила по программам ice00. До порядка 35 всё чудесно построилось, не возникло ни одной ошибки, максимальное время построения 2 мин.
Последовательность А164843 теперь выглядит так:

177 120 233 432 733 1154 1731 2470 3417 4584 6013 7712 9731 12088 14807 17940 21501 25530 30021 35086 40675 46840 53631 61092 69251 78100 87697 98084 109309 121380 134377 148258 163043

Для этой последовательности я где-то 21 октября отправила константы до порядка 31 включительно, но они пока не внесены в OEIS. Последовательность сейчас содержит константы до порядка 14 включительно.
Последовательность А073502 тоже сейчас заканчивается на порядке 14. Полностью эта последовательность на сегодня имеет такие константы:

111 102 213 408 699 1114 1681 2416 3355 4514 5937 7626 9635 11986 14691 17818 21373 25394 29873 34926 40511 46664 53445 60898 69045 77888 87473 97850 109065 121126 134113 147982 162759

Приведу пример вариантов массива для квадрата порядка 8 (для последовательности А073502):

Исходный массив: 1, 3, …, 311.
1 вариант: заменить число 311 на число 331;
2 вариант: заменить число 293 на 313.

В книге Ю. В. Чебракова приведён магический квадрат для второго варианта массива. Это магический квадрат для первого варианта массива:

71  277 11  223 67  211 73  181 
83  281 43  199 97  53  269 89  
59  137 197 271 139 163 17  131 
283 227 127 29  241 23  5   179 
239 1   257 37  233 41  293 13  
109 3   173 191 7   149 331 151 
251 31  193 61  101 167 47  263 
19  157 113 103 229 307 79  107

***
До конца исследовала общую формулу Бергхольта магического квадрата 4-го порядка. Классная формула! Выше я уже показала общую формулу для пандиагонального квадрата, полученную из общей формулы с применением заданных условий, которые должны выполняться для пандиагонального квадрата. Теперь получила ещё общую формулу для ассоциативного квадрата из этой же общей формулы, только с применением условий для ассоциативного квадрата. Общая формула для ассоциативного магического квадрата 4-го порядка выглядит так:

A-a C+a+c B+a+c D-a-2c
D-c    B    C    A+c
C-c    A    D    B+c
B+a+2c D-a-c A-a-c C+a

Дополнительное условие: $A + C = B + D$.
Запрограммировала эту формулу и получила ассоциативные квадраты 4-го порядка из простых чисел. Этот, кажется, наименьший:

17 113 37 73
79 31 107 23
97 13 89 41
47 83 7 103

А вот из смитов не удалось построить ни пандиагональный, ни ассоциативный квадраты. Смиты и тут проявляют свой характер Надо брать бОльший массив, я использовала в программе массив из 50 чисел.

Задача: построить наименьший пандиагональный и наименьший ассоциативный квадраты 4-го порядка из смитов (можно пользоваться приведёнными схемами).
***
Далее сочинила общую форумулу для идеального квадрата 5-го порядка. Здесь была приведена общая алгебраическая формула магического квадрата 5-го порядка из книги Ю. В. Чебракова. В этой формуле варьируются 15 переменных из 25 (квадрат строится из заданного массива, состоящего точно из 25 чисел). В моей общей формуле для идеального квадрата 5-го порядка в случае массива, состоящего из любого количества элементов, большего 25, варьируются 9 переменных; понятно, что все 9 переменных пробегают весь массив чисел, поэтому чем больше чисел в массиве, тем больше времени будет работать программа. Если же строить квадрат из массива, состоящего точно из 25 чисел, тогда в моей формуле для идеального квадрата варьируются только 8 переменных, которые пробегают 24 значения.
Составила программу для этой формулы, но она у меня получается долгоиграющая.
Если кому-то интересно, общую формулу для идеального квадрата 5-го порядка выложу.

В одной из своих статей нашла идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел, он построен из арифметической прогрессии длиной 25. Его магическая константа очень большая.

Задача: построить наименьший идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел и из смитов.

[Nataly-Mak]

Варианты наименьших магических квадратов для последовательности А073502 здесь.

Принимаются новые варианты, которые я не нашла, а также улучшения магических констант (в смысле их уменьшения) [для последовательностей А164843 и А073502].

[Nataly-Mak]

Сделала окончательный вариант статьи "Наименьшие магические квадраты из последовательных чисел Смита".

Напомню, что построены наименьшие магические квадраты из последовательных смитов до порядка 50 включительно. Но есть пробелы: не найдены наименьшие квадраты порядков 3 - 5 и 7 - 9.
Вот первые кандидаты для квадратов порядков 7 - 9:

n = 7  массив смитов: 58, ..., 1165  S = 4167
n = 8  массив смитов: 58, ..., 1776  S = 6496
n = 9 массив смитов: 27, ..., 2067  S = 9179

Первые кандидаты для квадратов порядков 3 - 5 давно проверены, магические квадраты не получились.

[maxal]

Я сделал файлик со всеми смитами вплоть до $2\cdot 10^{10}$ (всего 466402019 смитов). В сжатом виде весит полтора гигабайта. Если есть желающие скачать - обращайтесь в pm.

[Mathusic]

maxal в сообщении #262468 писал(а):

Я сделал файлик со всеми смитами вплоть до $2\cdot 10^{10}$ (всего 466402019 смитов). В сжатом виде весит полтора гигабайта. Если есть желающие скачать - обращайтесь в pm.

А как у Вас обстоит дело с поиском квадрата $3 \times 3$? Интересно (я это дело забросил)

[maxal]

Mathusic в сообщении #262469 писал(а):

А как у Вас обстоит дело с поиском квадрата $3 \times 3$? Интересно (я это дело забросил)

Аналогично.

[Nataly-Mak]

А кто-нибудь проверял квадраты 4х4 из последовательных смитов?
Как я уже сообщала, мной проверены первые 800 кандидатов, магический квадрат не найден. Неужели и с квадратом 4х4 так же плохо, как и с квадратом 3х3? Мне кажется, что квадрат 4х4 должен всё-таки найтись в пределах одного миллиарда или даже одного миллиона.
Я привела здесь свою программу построения магического квадрата из заданного массива чисел, состоящего точно из 16 элементов. По этой программе и проверяла. Даже на Бейсике она очень быстро выполняется, один массив проверяет за 10-15 секунд. И даёт однозначный ответ: составляется из этого массива магический квадрат или не составляется.
Можно воспользоваться этой программой, переписав её на другой язык. При желании каждый может и свою программу составить.
Пользователь 12d3 сообщил, что по своей программе проверил квадраты 5-го порядка до миллиона. Тоже не нашёл магический квадрат. Ну дела!
А вот квадрат 6-го порядка построился прямо из первого кандидата (он показан выше)!

Вчера снова пыталась построить наименьший магический квадрат 9-го порядка из произвольных смитов, первый кандидат имеет константу 8737. Хотела по программе ice00 получить магический квадрат из своих полумагических квадратов (я это уже пыталась сделать один раз, не получилось: ни один из 500 полумагических квадратов не превратился в магический). Вот сгенерировала 107 полумагических квадратов, причём из 10 различных наборов строк. И кроме того, полумагические квадраты делала так, что магической суммы нет только в одной диагонали. Вот пример такого полумагического квадрата:

1894  728  1086  1872  535  355  378  634  1255 
 1626  274  915  562  1935  922  1842  85  576 
 4  706  121  1903  1284  588  1581  2067  483 
 1776  762  861  58  166  1952  319  1858  985 
 778  1881  1795  1111  663  690  636  666  517 
 94  729  454  1633  346  1642  1822  1165  852 
 627  1755  1962  382  438  1678  1219  22  654 
 1736  1376  648  391  1449  645  27  958  1507 
 202  526  895  825  1921  265  913  1282  1908 

И вот, получив 107 таких полумагических квадратов, ввожу их в программу ice00, которая получает из полумагических квадратов магические. И ничего!
Это просто невероятно! Море полумагических квадратов и - ни одного магического. Жутко интересно, существует ли всё-таки магический квадрат из данного массива смитов. Или только одни полумагические, "хромые" на одну диагональ?

А поиск арифметических прогрессий из смитов тоже все забросили?
Вот восьмёрка смитов-близнецов не найдена, насколько мне известно. Если не нашли магический квадрат 3х3 до 30 миллиардов, это означает, что в этом интервале нет ни одной девятки смитов-близнецов, иначе из неё был бы построен магический квадрат 3х3.
Нет девяти арифметических прогрессий из смитов длины 9 с одинаковой разностью, они нужны мне, чтобы построить магический квадрат 9-го порядка методом, изложенным в книге Ю. В. Чебракова. И аналогично для длины 10.
Нет арифметической прогрессии из смитов длиной 16. tolstopuz дошёл, кажется, до длины 14, и тоже, наверное, забросил. А какой красивый магический квадратик 4х4 получился бы из такой прогрессии!!

Быстро же вы сдаётесь, господа Такой массив смитов имеете! И задачи перед вами нерешённые. Понимаю - стимула нет. Вот если бы я, как М. Гарднер, предложила вознаграждение за решение этих задач...

[Nataly-Mak]

Итак, наименьшие квадраты порядков 7, 8, 9 из произвольных смитов пока не найдены. Всего три квадратика! Неужели не осилим?
Тогда опять пошла в сторону больших порядков. У меня уже были построены наименьшие квадраты из произвольных смитов до порядка 28 включительно. Продолжила до порядка 35 включительно. Пока только определила минимальные константы. Поскольку моя программа работает с большой погрешностью, большая просьба - проверить минимальность найденных магических констант.

n = 29  S = 359151
n = 30  S = 400064
n = 31  S = 442886
n = 32  S = 487920
n = 33  S = 536840
n = 34  S = 589126
n = 35  S = 644794

***
Мысли по поводу квадрата 3х3 из последовательных смитов. Мне говорили на форуме Портала ЕН, что Maple работает с какими угодно большими числами. Нельзя ли как-нибудь написать для Maple скрипт (или как это называется?), чтобы он поискал магический квадрат 3х3 из последовательных смитов?

Опять же вот мне непонятно: как же люди находят, например, арифметические прогрессии из простых чисел в заоблачных пределах? Там числа состоят из сотен цифр. Как им это удаётся? А тут дошли до 30 миллиардов и дальше уже никак? Вспоминаю (очень туманно), как программировала на Ассемблере. Там приходилось большие числа "упаковывать", а потом их "распаковывать". Писались даже специальные программки упаковывания и распаковывания чисел.
Наверное, и в современных компьютерах для работы с очень большими числами есть какие-то специальные инструменты.

[maxal]

Проблема тут не столько с большими числами (с ними PARI/GP работает без проблем), сколько в долгом времени работы - каждый новый миллиард требует для прогонки все большего и большего времени. А гарантий, что решение есть хотя бы меньшее $10^{15}$ - никаких.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #262856 писал(а):

Проблема тут не столько с большими числами (с ними PARI/GP работает без проблем), сколько в долгом времени работы - каждый новый миллиард требует для прогонки все большего и большего времени. А гарантий, что решение есть хотя бы меньшее $10^{15}$ - никаких.

Простите, не поняла. Если программа работает с большими числами без проблем, то почему проверить десятый миллиард сложнее (дольше), чем первый миллиард?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #262862 писал(а):

Если программа работает с большими числами без пробем, то почему проверить десятый миллиард сложнее (дольше), чем первый миллиард?

Проверка на смитовость становиться все трудоемче и трудоемче (так как она требует факторизации чисел, сложность которой чуствительна к величине числа).