Проверить монотонность последовательности (факториалы)

[Mr. X]

Нетрудно видеть, что последовательность $\displaystyle\frac{\ln n!}{n\ln n}$ cходится к 1 (и меньше 1). Является ли она возрастающей?

Мое мнение -- да, но доказательством не располагаю. Буду премного благодарен за помощь в этом вопросе.

[Профессор Снэйп]

А как же формула Стирлинга?

[RIP]

Можно решать в лоб. Формула Стирлинга даёт
$\frac{\log n!}{n\log n}=1-\frac1{\log n}+\frac1{2n}+\frac{\log\sqrt{2\pi}}{n\log n}+O(\frac1{n^2\log n})$, поэтому
$a_{n+1}-a_n=\frac1{n\log n}+O(\frac1{n^2})$,
т.е. при достаточно больших $n$ возрастание заведомо есть. Чтобы оценить, при насколько больших, можно воспользоваться явными неравенствами
$\frac1{12n+1}<\log n!-n(\log n-1)-\log\sqrt{2\pi n}<\frac1{12n}$.

[Mr. X]

ОК. Вопрос закрыт. Хотя исходно формула Стирлинга не предполагалась к использованию, так как вопрос был изначально адресован студентам--первокурсникам, которые ее еще не знают и подразумевалось какое-нибудь "школьное" рассуждение.

[RIP]

Ну почему же сразу закрыт? Как раз "школьное" доказательство очень было бы интересно послушать.

[Mr. X]

Согласен с Вами. Но наверное, это будет не очень коротко (просто), если, конечно, не переложить формулу Стирлинга на "школьный" лад.

[ewert]

Во-первых, все монотонности такого рода следует доказывать по методу Голдбергера: "Предположим, что монотонности нет. Да, но это же абсурд! Ч.т.д."

Во-вторых, смотря о каких первокурсниках речь. Сегодня первокурсникам решать такие задачки, наверное, рановато. А вот во втором семестре -- должно напрашиваться сравнение логарифма от факториала с интегралом от логарифма:

$$\int_1^n\ln x\,dx=n\,\ln n-n+1=\ln n!+\alpha_n.$$

Достаточно очевидно, что $\alpha_n=O(\ln n)$ и что $\Delta\alpha_n\equiv\alpha_{n+1}-\alpha_{n}=O({1\over n}).$ Далее,

$${\ln n!\over n\,\ln n}=1-{1\over\ln n}+{1\over n\,\ln n}-{\alpha_n\over n\,\ln n}.$$

Для первой дроби в правой части приращение устойчиво знакоопределённо и асимптотически равно ${1\over n\,\ln^2n}$. Для второй -- очевидно, что много меньше. Для третьей:

$$\Delta{\alpha_n\over n\,\ln n}\sim\Delta\alpha_n\cdot{1\over n\,\ln n}+\alpha_n\cdot\Delta{1\over n\,\ln n},$$

что, очевидно, много меньше самого первого приращения. Откуда и монотонность.

Наверное, доказательство не самое изящное. Но зато напрашивающееся (если не знать формулу Стирлинга, это уже всё-таки следующий уровень).