Найти все решения задачи Коши на инт. [0,inf)

[OlegMN]

Спасибо за советы.

Как я и ожидал, полученное нелинейное диф. ур-ние я не знаю, как решать.

По-моему, проще было бы представить dy/dx как (dy/dt)/(dx/dt) и искать y(t). Странно, что я это не заметил. Или заметил, проверил, что не решу и забыл. В общем получается:
$\sqrt{t^2+4}y'(t) + (t\sqrt{t^2+4} + t^2 + 2)y = 0$

Если решать то ур-ние, которое Вы написали выше, то получается:
$y\frac{dt}{dy} + \frac{t^2 + t\sqrt{t^2+4} + 4}{(t^2 + t\sqrt{t^2+4} + 2)\sqrt{2t^2 + 2t\sqrt{t^2+4} + 4}} = 0$

Для первого ур-ния mathcad выдал только 0. Может, здесь нужно было показать, почему кроме 0 других решений нет.
Всё равно спасибо.

[Руст]

OlegMN писал(а):

Спасибо за советы.

Как я и ожидал, полученное нелинейное диф. ур-ние я не знаю, как решать.

Осталось то нечего.

$\sqrt{t^2+4}y'(t) + (t\sqrt{t^2+4} + t^2 + 2)y = 0$
В зависимости y(t) это линейное уравнение и решение есть:
$y(t)=exp(-\int \frac{t\sqrt{t^2+4}+t^2+2}{\sqrt{t^2+4}}dt)$

[Горьковчанин]

Обратите внимание на то, что полученное уравнение (и решение в виде экспоненты) -- именно то, с чем я когда-то выступал. Вы спорили...

[Руст]

Виноват. Я с самого начало не хотел здесь отметится, только хотел подправить ваше решение. Поэтому, так плохо и небрежно делал выкладки.

[OlegMN]

Что-то я невнимателен. Нелинейное ур-ние от линейного уже отличить не могу.
Но всё-таки z(t) не равно y(t). z(t) = y(x) = y1(t). Подстановка значения x(t) меняет вид функции y, если она должна зависеть от t. То же для неверного решения Z(x) из которого неправильно был получен y(x) и в результате ответы как бы совпал. Можете подставить $y(x)=C exp(-x)$ и оно не подойдет. При чем я ещё заметил, что 1/(dx/dt) не равно dt/dx ! Может, дело в неоднозначности x(t)? Ещё меня давно интересовал вопрос, с точки зрения строгой математики всегда ли можно делать такой трюк: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) ? И dy/dx = (dt/dx)/(dt/dy).
А в самой задаче можно не прибегать в вычислению dx/dt или dt/dx, а записать в общем виде как f(t), выразить в виде экспоненты от интеграла от f(t) и подставить нач. условия, соглано которым C=0, т.е. решение только 0.

[Руст]

На самом деле, я указывая ошибку горькавчанина, заключающийся в замене y(t) на z(t) сделал такую же ошибку на следующем шаге заменив z'(t) на y'(t), соответственно это решение так же неправильно.
Правильный подход может быть обоснован на линейности уравнения. Обозначим оператор перехода $y(x)\to y(t(x))$ через Ay(x). Это линейный оператор. Однако в отличии от оператора сдвига аргумента, собственные вектора (кроме постоянной функции, я не знаю других собственных векторов) этого оператора не совпадают с собственными векторами дифференциального оператора (exp(ax)).
Соответственно вопрос явного вычисления корня (D+A)y(x)=0, в этом случае существенно сложнее. Можно попробовать доказать сходимость ряда $y_0(x)=1,B=-\int A, (1+B+B^2+...)y_0$.
Вообще, думаю исходная задача заключалась не в общем решении, а в доказательстве единственности нулевого решения с исходным условием.

[Горьковчанин]

Не надо приписывать мне того, чего я не говорил! Я прекрасно понимаю, что $y(t)\neq z(t)$. А говорил я, что $z(t)=y(x(t))$, где $x(t)$ - решение уравнения $t=x/\sqrt{1+x}$.

Далее, оператор, введенный Вами, не имеет отношения к дела, иначе зачем бы Вам брать обратные функции x(t) к функции t(x)? И почему оператор линеен вообще? И при чем тут "сдвиг"? И вообше, сомневаюсь, что предложенное уравнение является чисто ОДУ, или ОДУ со сдвигом!

[Руст]

То что оператор перехода от функции y(x) к z(t) или наооборот является линейным очевиден.
В качестве работоспособности последнего метода можно привести пример попроще
$y'(x)=y(x^2),(t(x)=x^2)$.
Метод разложения дает решение сходящееся в интервале (-1,1):

$$y(x)=1-x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{3*7}+\frac{x^{15}}{3*7*15}-...+(-1)^k\frac{x^{2^k-1}}{\prod_{i=1}^k (2^i-1)}}+...$$

[Marg]

Народ! Кажется, я что-то не понимаю... Разве это милое уравненице не удовлетворяет теореме о существовании и единственности?

И перед вами очевидное решение y=0!!!