Найти все решения задачи Коши на инт. [0,inf)

[OlegMN]

$\[ \left\{\begin{array}{cl} y'(x) + y(x/\sqrt{x+1}) = 0\\ y(0) = 0 \end{array}\right. \]$

Может, для её решения даже есть какие-то стандартные методы, когда в аргументе стоит какая-то функция?

[Горьковчанин]

1. $y(x)=0$.
2. Замена: $\frac{x}{\sqrt{x+1}}=t$, $z(t)=y(x(t))$, $y'(x)=z'(t)/x'(t)$ и получаем уравнение с разделенными переменными?

[OlegMN]

И получается
$z'(t)/x'(t) + y(t) = 0$
А дальше как? Сами функции x, z, y не известны.

[Руст]

Во первых с данным граничным условием решение единственное в интервале (-1,00), т.е. тождественно равное нулю.
Для решения без этого граничного условия подсказанный подход не годится. Для приведения к нелинейному уравнению от одного аргумента надо перейти к обратной функкции t(z) и выразить dt/dx как функцию от t, что удается.

[Горьковчанин]

А чем плохо уравнение

$$\frac{dz}{z}=-x'(t)\,dt\,?$$

[Руст]

z(t) не равно y(t), поэтому для нахождения связи между ними надо переходить к обратной функции.

[OlegMN]

А можно по-подробней?
Как был получен вывод, что y(x) = 0?

И как получить нелинейное уравнение тоже не совсем понятно.

[Горьковчанин]

Путем подстановки убеждаемся, что y(x)=0 является решением.
Теперь ищем другие решения. Пусть $t=x/\sqrt{1+x}$, введем новую функцию $z(t)=y(x(t))$, где $x(t)$ находится школьными методами (решить надо уравнение иррациональное). Теперь осталось найти связь между $y'(x)$ и $z'(t)$. Делается это так. Из формулы цепного правила дифференцирования,

$$\frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdo\frac{dx}{dt},$$ $$y'(x)=z'(t)/x'(t).$$

В новых переменных дифференциальное уравнение приобретает вид $z'(t)/x'(t)+z(t)=0$, что есть уравнение с разделенными переменными. Переносим второе слагаемое в правую часть, домножаем уравнение на $x'(t)\,dt/z$, и получаем уравнение

$$\frac{dz}{z}=-x'(t)\,dt$$

, откуда $z=C\cdot e^{-x(t)}$.

[Руст]

Горьковчанин писал(а):

В новых переменных дифференциальное уравнение приобретает вид $z'(t)/x'(t)+z(t)=0$, что есть уравнение с разделенными переменными.

Это не верно. Надо заменить z(t) на y(t) (на это указывал и автор). Именно для выражения связи между ними я предлагал перейти к обратным функциям t(z),t(x).

[Горьковчанин]

Руст писал(а):

Горьковчанин писал(а):

В новых переменных дифференциальное уравнение приобретает вид $z'(t)/x'(t)+z(t)=0$, что есть уравнение с разделенными переменными.

Это не верно. Надо заменить z(t) на y(t) (на это указывал и автор). Именно для выражения связи между ними я предлагал перейти к обратным функциям t(z),t(x).

Автор указывал уравнение, в котором было три функции (он забыл заменить второе слагаемое). В моём решении неизвестная функция всего одна - z. Именно относительно нее получено новое уравнение.
Тогда может быть вы предложите и вариант решения?

[Руст]

Приведу полное решение:
После указанных подстановок и перехода к обратным переменным получаем:
(1) $y\frac{dx}{dt}+\frac{dt}{dy}=0.$
Вычисляем x(t),dx/dt:
(2)$x(t)=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2\sqrt{t^2+4}}$
Это приводит к дифференциальному уравнению:
(3) $\frac{dt}{dy}+y\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2\sqrt{t^2+4}}=0.$
Разделяя переменные получаем общий интеграл:
(4) $y^2+C+\frac{t^3}{3}+4t-\frac{t^2+4}{3}.$
Переходя к переменой х получаем общее решение исходной задачи:
(5) $3y^2+C+2(x+1)^{-3/2}(3x^2-4).$
Тут пришлось сделать несколько преобразований.
Получается решение с y(0)=0 не единственное, этому соответствует ещё C=8.

[Горьковчанин]

Руст писал(а):

Вычисляем x(t),dx/dt:
(2)$x(t)=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2\sqrt{t^2+4}}$

Правильно ли я понимаю, что у Вас решением уравнения $t=x/\sqrt{1+x}$ является $x=(t+\sqrt{t^2+4})/2$?

[Руст]

Да, я пропустил множитель t, точнее $x(t)=t\frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2},x'(t)=|t|(1+\frac{t^2+2}{\sqrt{t^2+4}}).$
Дальше, надеюсь автор может дорешать по аналогии.

[OlegMN]

Мне собственно и нужно было узнать, что от чего представить функцией, что и как продифференцировать. Поэтому, если можно, то распишите, как было получено (1).

[Руст]

Имели уравнение: $\frac{dy}{dx}+y(t)=0$, записывая dy/dx как отношение
(dy/dt)/(dx/dt)=(dt/dx)/(dt/dy) и домножив на (dt/dy) получаем:
$y\frac{dt}{dy}+\frac{dt}{dx}=0.$
Получается, что я был не аккуратен и здесь. Тем не менее метод работает, dt/dx=1/(dx/dt) выражается как явная функция от t, что приводит к нелинейному уравнению относительно функции t(y). Так как при этом зависимость от у простая, то уравнение явно интегрируется и это несложно. Поэтому советую это проделать самому.