Black-Scholes – элементарное введение

[vek88]

Шимпанзе в сообщении #257367 писал(а):

Так в этом и беда наша, что помним, если б не помнили были б банкирами...Вы что же не знаете какой процент богатейших людей в Мире имеют высшее образование? Около 3%.

Согласен. А теперь идем дальше. Раз уж речь зашла о теореме Пифагора, заметим, что ее "аналогом" в теории вероятностей является Теорема о том, что дисперсия суммы независмых случайных величин равна сумме дисперсий. Предполагая, что все факторы, действующие на цену акций независимы (в реальности это совсем не так), отсюда заключаем, что квадрат волатильности $\sigma_T$ изменения логарифма цены акции за время $T$ пропорционален $T$, т.е.

$$\sigma^2_T = \sigma^2 T$$

Здесь $\sigma$ - годовая волатильность.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #257527 писал(а):

Предполагая, что все факторы, действующие на цену акций независимы (в реальности это совсем не так), отсюда заключаем, что квадрат волатильности $\sigma_T$ изменения логарифма цены акции за время $T$ пропорционален $T$, т.е.

$$\sigma^2_T = \sigma^2 T$$

Здесь $\sigma$ - годовая волатильность.

А почему это мы заключаем, чтоквадрат волатильности, то есть дисперсия, пропорциональна времени?
Почему не квадрату времени, ведь VAR[aX] = $a^2$VAR[X]

[vek88]

finanzmaster в сообщении #257572 писал(а):

А почему это мы заключаем, что квадрат волатильности, то есть дисперсия, пропорциональна времени?
Почему не квадрату времени, ведь VAR[aX] = $a^2$VAR[X]

Анекдот. Купец отправляется в дальние страны. Спрашивает любимую дочь, что ей привезти.
- А привези мне, папенька, чудище для сексуальных извращений.
- Что ты такое, доченька, говоришь.
- Ладно, папа, начнем издалека - привези мне аленький цветочек.

Мы тоже вернемся к началу издалека - к дискретному случаю. Итак, однодневные лог изменения мы считаем независимыми друг от друга. Разумеется у нас все стационарно, т.е. каждый день логнормальное распределение одно и то же. Тогда лог изменение цены акции за $n$ дней равно сумме лог изменений за каждый из этих $n$ дней. Следовательно, дисперсия $n$-дневная равна сумме $n$ однодневных - отсюда следует пропорциональность дисперсии количеству дней. Остается заметить, мы также могли разбить интервал времени $T$ не на дни, а на часы, минуты, или секунды и т.д. Значит дисперсия пропорциональна времени.

В терминах волатильности мы приходим, таким образом, к хорошо известному специалистам по управлению рисками правилу квадратного корня (square root of time rule, см. Jorion, Financial Hisk Management Handbook)

$$\sigma_T=\sigma \sqrt{T}$$

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #257643 писал(а):

Мы тоже вернемся к началу издалека - к дискретному случаю. Итак, однодневные лог изменения мы считаем независимыми друг от друга. Разумеется у нас все стационарно, т.е. каждый день логнормальное распределение одно и то же. Тогда лог изменение цены акции за $n$ дней равно сумме лог изменений за каждый из этих $n$ дней. Следовательно, дисперсия $n$-дневная равна сумме $n$ однодневных - отсюда следует пропорциональность дисперсии количеству дней. Остается заметить, мы также могли разбить интервал времени $T$ не на дни, а на часы, минуты, или секунды и т.д. Значит дисперсия пропорциональна времени.

ok, хорошая аргументация

[vek88]

Итак, без Винера мы обошлись в том смысле, что все нужные нам свойства (логнормальность и закон квадратного корня) мы поняли на элементарном уровне.

Осталось обойтись без Ито. Основную подсказку нам дает Вопрос 4. Помните? По четным академиком, а по нечетным рыбу ловить. Наводящие соображения:
- теперь вместо чередования +1%, -1% двоичный случайный процесс +1%, -1% с вероятностью 50%;
- рассмотрим конкретную реализацию этого процесса;
- спарим каждый +1% со своим -1%
- эти спаренные за сто дней дадут примерно 0,5% отрицательный тренд.

Вопрос 6. Как связан этот отрицательный тренд с волатильностью? Было бы хорошо, если бы Вы сразу указали формулу для этого тренда в непрерывном времени, выразив его через $\sigma$ и $T$.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #257705 писал(а):

Вопрос 6. Как связан этот отрицательный тренд с волатильностью? Было бы хорошо, если бы Вы сразу указали формулу для этого тренда в непрерывном времени, выразив его через $\sigma$ и $T$.

$S_T = S_0(1+I \sigma_d)^n$, где $I$ сл. величина, принимающая 1 и -1 с вероятностью 0.5 и $\sigma_d$ - дневная волатильность.

Тогда
$ln(\frac{S_T}{S_0}) = n * ln((1+I \sigma_d))$

$\mathbb{E} \left[ln(\frac{S_T}{S_0}) \right] = 0.5 n * \left( ln((1 + \sigma_d)) + ln((1 - \sigma_d)) \right) = 0.5 n * ln((1 - {\sigma_d)}^2) $

[vek88]

finanzmaster в сообщении #257926 писал(а):

$S_T = S_0(1+I \sigma_d)^n$, где $I$ сл. величина, принимающая 1 и -1 с вероятностью 0.5 и $\sigma_d$ - дневная волатильность.

Тогда
$ln(\frac{S_T}{S_0}) = n * ln((1+I \sigma_d))$

$\mathbb{E} \left[ln(\frac{S_T}{S_0}) \right] = 0.5 n * \left( ln((1 + \sigma_d)) + ln((1 - \sigma_d)) \right) = 0.5 n * ln((1 - {\sigma_d)}^2) $

В последней формуле Вы хотели написать

$$ln(1 - {\sigma_d}^2)$$

А теперь ясно к чем мы клоним - это приближенно равно

$$-\frac{\sigma^2}{2}T$$

Здесь, как и ранее, $\sigma$ - годовая волатильность. При этом мы применили закон квадратного корня. В пределе, в непрерывном времени, это и дает окончательный ответ.

Осталось "расправиться" с ограничением двоичным процессом.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #257984 писал(а):

В последней формуле Вы хотели написать

$$ln(1 - {\sigma_d}^2)$$

Да, очепятка вышла.

[vek88]

Избавиться от ограничения двоичным процессом просто. Пусть у нас двоичная случайная величина с длительностью такта 1 микросекунда. Тогда отсчеты с тактовой частотой 1 сек уже распределены практически по нормальному закону (кажется, Теорема Муавра-Лапласа).

Итак, мы пришли к "нужному" логнормальному распределению без Винера и Ито

$$ln\frac{S_T}{S} \sim N((r-\frac{\sigma^2}{2})T, \sigma \sqrt{T})$$

Кстати, обычно все "молятся" на Лемму Ито, забывая простой экономический смысл отрицательного тренда

$$- \frac{\sigma^2}{2} T$$

обусловленного волатильностью. А смысл в том, что большая волатильность съедает капитализацию компаний. Например, годовая волатильность 20% (это норма на западе) дает отрицательный тренд всего 2% годовых, что терпимо. А вот волатильность 60% (так было в течение текущего кризиса) дает тренд минус 18%, что перекрывает безрисковые ставки (на западе).

[Шимпанзе]

Я вот пришел к такому выражению ( решал задачу, так сказать в лоб):

$$ln(\frac{S_T}{S})= \mu\ T + p\sigma\sqrt{T}$$

$p $ - здесь вероятность волатильности, у нас 0.5.

Сгодится?

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #258002 писал(а):

Избавиться от ограничения двоичным процессом просто. Пусть у нас двоичная случайная величина с длительностью такта 1 микросекунда. Тогда отсчеты с тактовой частотой 1 сек уже распределены практически по нормальному закону (кажется, Теорема Муавра-Лапласа).

Итак, мы пришли к "нужному" логнормальному распределению без Винера и Ито

$$ln\frac{S_T}{S} \sim N((r-\frac{\sigma^2}{2})T, \sigma \sqrt{T})$$

А вот и кульминация!!
И кто же, спрашивается, будет такую акцию покупать, если
$\mathbb{E}\left[ ln\frac{S_T}{S}\right] =(r-\frac{\sigma^2}{2})T $ тогда как для банковского вклада $ln\frac{B_T}{B} = rT$
То есть получается по безрисковому(!) банковскому вкладу ожидание доходности больше чем по рискованной акции, ну и зачем ее покупать?!

В реальности, которую мы наблюдаем на рынке, грубо-приближенно имеет место такое распределение

$$ln\frac{S_T}{S} \sim N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})T, \sigma \sqrt{T})$$

Именно $\mu$ а не $r$.
Причем (и это совершенно отчетливо показывает статистика рынка), что в долгосрочной перспективе $\mu > r$

Так что хотя Винера и Ито Вы в целом смогли ввести интуитивно, остается еще разобраться с Гирсановым - т.е. с переходом от винеровского процесса по наблюдаемой на рынке мере к риск-нейтральной мере.

[vek88]

Шимпанзе в сообщении #258013 писал(а):

Я вот пришел к такому выражению ( решал задачу, так сказать в лоб):

$$ln(\frac{S_T}{S})= \mu\ T + p\sigma\sqrt{T}$$

$p $ - здесь вероятность волатильности, у нас 0.5.

Сгодится?

Если честно, я ничего не понял.

finanzmaster в сообщении #258017 писал(а):

А вот и кульминация!!
И кто же, спрашивается, будет такую акцию покупать, если
$\mathbb{E}\left[ ln\frac{S_T}{S}\right] =(r-\frac{\sigma^2}{2})T $ тогда как для банковского вклада $ln\frac{B_T}{B} = rT$
То есть получается по безрисковому(!) банковскому вкладу ожидание доходности больше чем по рискованной акции, ну и зачем ее покупать?!

В реальности, которую мы наблюдаем на рынке, грубо-приближенно имеет место такое распределение

$$ln\frac{S_T}{S} \sim N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})T, \sigma \sqrt{T})$$

Именно $\mu$ а не $r$.
Причем (и это совершенно отчетливо показывает статистика рынка), что в долгосрочной перспективе $\mu > r$

Так что хотя Винера и Ито Вы в целом смогли ввести интуитивно, остается еще разобраться с Гирсановым - т.е. с переходом от винеровского процесса по наблюдаемой на рынке мере к риск-нейтральной мере.

Вы правы по поводу $\mu$ вместо $r$. Но никакой кульминации пока не наступило - все, что мы делали можно было делать и для $\mu$. Так что все еще впереди.

И снова напоминаю - пока наша задача получить формулы BS элементарными средствами (как было заявлено при открытии темы). Реалии рынка готов обсуждать отдельно после получения формул BS. Иначе мы размажемся по необъятным рыночным просторам и, боюсь, ни к чему не придем.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #258021 писал(а):

Вы правы по поводу $\mu$ вместо $r$. Но никакой кульминации пока не наступило - все, что мы делали можно было делать и для $\mu$. Так что все еще впереди.

Ок, но тогда, пожалуйста, поясните откуда у нас в ""нужном" логнормальном распределении" вдруг берется $r$?
По-моему разница между $\mu$ и $r$ принципиальна - и именно потому что, инвесторы требуют вознаграждения за риск. Этот фундаментальный экономический факт в оригинальной работе Б-Ш учитывался, и если в Вашем выводе он нарушается, то вряд ли такой вывод годится

[vek88]

finanzmaster в сообщении #258029 писал(а):

Ок, но тогда, пожалуйста, поясните откуда у нас в ""нужном" логнормальном распределении" вдруг берется $r$?
По-моему разница между $\mu$ и $r$ принципиальна - и именно потому что, инвесторы требуют вознаграждения за риск. Этот фундаментальный экономический факт в оригинальной работе Б-Ш учитывался, и если в Вашем выводе он нарушается, то вряд ли такой вывод годится

Еще раз обращаю Ваше внимание, что все сделанное до сих пор не требовало различать $\mu$ или $r$. Вот пример из моего сообщения, сделанного ранее:

vek88 в сообщении #257090 писал(а):

Итак, равномерный рост акции означает, что логарифм ее изменения пропорционален времени этого изменения, т.е.

$$\ln \frac {S_T}{S} = \mu T$$

Здесь $S$ - цена акции в начальный момент. Коэффициент $\mu$ - процентная ставка с непрерывным начислением процентов. Время принято измерять в годах, поскольку процентная ставка обычно задается в процентах годовых.

И еще раз напоминаю о дисциплине: сначала получим BS (осталось совсем немного - мы же не будем здесь вычислять интегралы), а потом риски, плата за страх, маржа и все такое.

И что-то я увлекся - ухожу в отпуск до завтра.

[finanzmaster]

vek88 в [url=http://dxdy.ru/post258048.html#p258048] писал(а):

И еще раз напоминаю о дисциплине: сначала получим BS

Это бессмысленно, пока Вы не докажете истинность промежуточных выкладок, т.к. из ложного утверждения может следовать и истина, и ложь.

Еще раз формулирую, в чем проблема:
1. Вознаграждение за риск - закон фундаментальный, как я показал, он у Вас нарушается. Б-Ш прежде всего модель экономическая.

2. Чисто технически непонятно, откуда вдруг в "нужном" распеределении взялся $r$. $r$ - это безрисковая процентная ставка, и никакого отношения к курсу акций не имеет, разве что мы дисконтируем будущую стоимость акции. Но Вы дисконтирование при выводе "нужного" распределения нигде не упомянули.

-- Вт ноя 03, 2009 21:53:42 --

vek88 в сообщении #258048 писал(а):

Еще раз обращаю Ваше внимание, что все сделанное до сих пор не требовало различать $\mu$ или $r$.

Если так, то пожалуйста, продолжайте дальше с $\mu$.
Тогда будет все чисто - и экономически, и технически