Найти все матрицы B, коммутирующие с заданной матрицей A

[ИС]

Дана вот такая вот матрица.
$ A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right). $
Требуется найти все матрицы B, такие что BA = AB...

подскажите...

[ИСН]

О, таких полно. Можете взять B=A.

[ИС]

Ой
Я очепятался.. нужно найти все такие матрицы...

[ИСН]

Ах, все. Ну, пишите:
$\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{array} \right)$
где эти самые буквы удовлетворяют таким-то уравнениям...

[ИС]

блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

[gris]

Может быть обратную матрицу найти?

[ИСН]

Ну, кажется, там был какой-то критерий коммутативности через собственные векторы и жорданову форму, но если Вы пока не привыкли этими словами жонглировать туда-сюда, то так только сложнее.

[AKM]

ИС в сообщении #257916 писал(а):

блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

А они, наверное, появятся сразу, как только решать начнём. Сам не решал, но задачка-то учебная, значит всё будет просто. Не зря столько ноликов в матрицу напихали.

[Парджеттер]

ИС в сообщении #257916 писал(а):

:|
блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб. Записываются две матрицы и приравниваются их соответствующие элементы. Оттуда вытаскиваются условия на них.

[Профессор Снэйп]

Парджеттер в сообщении #257985 писал(а):

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб.

Не скажите. Исходная матрица всё-таки не зря представляет из себя одну жорданову клетку.

Первое, что можно заметить: у неё есть единственный (с точностью до умножения на ненулевую константу) собственный вектор $v = (1,0,0)$ (записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$ коммутирует с $A$, то $ABv = BAv = 3Bv$, откуда $Bv$ --- собственный вектор матрицы $A$ (или нулевой вектор). Значит, $Bv = \lambda v$ для некоторого скаляра $\lambda$ и $(B)_{21} = (B)_{31} = 0$, $(B)_{11} = \lambda$. Далее рассуждаем в том же духе...

-- Вт ноя 03, 2009 22:56:57 --

Вообще, $BA = AB \Leftrightarrow B(A-3E) = (A-3E)B$ (здесь $E$ --- единичная матрица). А у матрицы $A-3E$ совсем много ноликов

[Профессор Снэйп]

Что-то задача стала резко никому не нужна. А я вчера за те пятнадцать минут, пока засыпал, всё легко решил в уме. Ответ такой:

$$ B = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array} \right) $$

Естественно, никаких жутких систем решать не потребовалось!

[Парджеттер]

Профессор Снэйп в сообщении #258131 писал(а):

А я вчера за те пятнадцать минут, пока засыпал, всё легко решил в уме.

Я не в уме, но за 5 минут. Ответ такой же)

[Профессор Снэйп]

Парджеттер в сообщении #258241 писал(а):

...но за 5 минут.

А я зато в полудрёме, на границе между сном и явью

[ewert]

Просто это стандартная подзадача. Именно к этому сводится вопрос о классе матриц, коммутирующих с заданной.