2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти все матрицы B, коммутирующие с заданной матрицей A
Сообщение03.11.2009, 15:27 
Аватара пользователя
Дана вот такая вот матрица.
$
A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 3 
\end{array} \right).
$
Требуется найти все матрицы B, такие что BA = AB...

подскажите...

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:29 
Аватара пользователя
О, таких полно. Можете взять B=A.

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:31 
Аватара пользователя
Ой :oops:
Я очепятался.. нужно найти все такие матрицы...

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:39 
Аватара пользователя
Ах, все. Ну, пишите:
$\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{array} \right)$
где эти самые буквы удовлетворяют таким-то уравнениям...

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:50 
Аватара пользователя
:|
блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:58 
Аватара пользователя
Может быть обратную матрицу найти?

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 15:59 
Аватара пользователя
Ну, кажется, там был какой-то критерий коммутативности через собственные векторы и жорданову форму, но если Вы пока не привыкли этими словами жонглировать туда-сюда, то так только сложнее.

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 16:14 
Аватара пользователя
ИС в сообщении #257916 писал(а):

блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?
А они, наверное, появятся сразу, как только решать начнём. Сам не решал, но задачка-то учебная, значит всё будет просто. Не зря столько ноликов в матрицу напихали.

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 17:52 
Аватара пользователя
ИС в сообщении #257916 писал(а):
:|
блин.. их мноооого ) А может есть какия хитрость?

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб. Записываются две матрицы и приравниваются их соответствующие элементы. Оттуда вытаскиваются условия на них.

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение03.11.2009, 19:38 
Аватара пользователя
Парджеттер в сообщении #257985 писал(а):
Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб.

Не скажите. Исходная матрица всё-таки не зря представляет из себя одну жорданову клетку.

Первое, что можно заметить: у неё есть единственный (с точностью до умножения на ненулевую константу) собственный вектор $v = (1,0,0)$ (записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$ коммутирует с $A$, то $ABv = BAv = 3Bv$, откуда $Bv$ --- собственный вектор матрицы $A$ (или нулевой вектор). Значит, $Bv = \lambda v$ для некоторого скаляра $\lambda$ и $(B)_{21} = (B)_{31} = 0$, $(B)_{11} = \lambda$. Далее рассуждаем в том же духе...

-- Вт ноя 03, 2009 22:56:57 --

Вообще, $BA = AB \Leftrightarrow B(A-3E) = (A-3E)B$ (здесь $E$ --- единичная матрица). А у матрицы $A-3E$ совсем много ноликов :)

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение04.11.2009, 05:59 
Аватара пользователя
Что-то задача стала резко никому не нужна. А я вчера за те пятнадцать минут, пока засыпал, всё легко решил в уме. Ответ такой:
$$
B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & a & b \\
0 & 0 & a
\end{array}
\right)
$$
Естественно, никаких жутких систем решать не потребовалось!

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение04.11.2009, 15:45 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #258131 писал(а):
А я вчера за те пятнадцать минут, пока засыпал, всё легко решил в уме.

Я не в уме, но за 5 минут. Ответ такой же)

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение04.11.2009, 18:03 
Аватара пользователя
Парджеттер в сообщении #258241 писал(а):
...но за 5 минут.

А я зато в полудрёме, на границе между сном и явью :)

 
 
 
 Re: Задачка с матрицами (7)
Сообщение04.11.2009, 18:31 
Просто это стандартная подзадача. Именно к этому сводится вопрос о классе матриц, коммутирующих с заданной.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group