Показать что оператор не является компактным.

[merlin]

Оператор действует из пространства ограниченных и непрерывных функций на R в такое же пространство.

$Tf(t)=\int_\mathbb{R}\ k(t-s) f(s)\ ds $

Где $k(t)=\left\{ \begin{array}{rcl}\ 1 & \mbox{for} & |t|\leq1 \\ 0 & \mbox{for} & |t|>1 \\ \end{array}\right$

[id]

Может быть, стоит поэкспериментировать с индикаторами вида $\chi_{[n,n+1]}$ как системой функций $\{f_n\}$? Оно, конечно, не непрерывно - но можно приблизить и непрерывными.

Идея в том, что оно все ограничено и должно бы переводиться во вполне ограниченное множество, а не переводится.

[merlin]

А как вообще доказать что оператор умножения на функцию в пространстве BC(R) не является компактным?

[ewert]

id в сообщении #257768 писал(а):

Может быть, стоит поэкспериментировать с индикаторами вида $\chi_{[n,n+1]}$ как системой функций $\{f_n\}$? Оно, конечно, не непрерывно - но можно приблизить и непрерывными.

А зачем приближать? Просто берём более-менее любую функцию (например, убывающую на бесконечности) и размножаем её в бесконечную. последовательности сдвигами. Естественно, ни о какой предкомпактности и речи не будет.

-- Вт ноя 03, 2009 11:36:39 --

merlin в сообщении #257785 писал(а):

А как вообще доказать что оператор умножения на функцию в пространстве BC(R) не является компактным?

А как вообще умножение на функцию может породить равностепенную непрерывность, если её не было?...

[AD]

ewert в сообщении #257835 писал(а):

А как вообще умножение на функцию может породить равностепенную непрерывность, если её не было?...

Умножение на тождественный ноль?

[ewert]

AD в сообщении #257857 писал(а):

ewert в сообщении #257835 писал(а):

Умножение на тождественный ноль?

Правильно, только так.

А в общем случае надо просто взять любую ограниченную последовательность непрерывных функций, стремящуюся поточечно к разрывной. Это же будет верно и после умножения на функцию (если, конечно, точка разрыва не является нулём умножаемой функции). Т.е. на выходе, как и на входе, последовательность не будет предкомпактной.

[merlin]

Пример из книги.
Если взять последовательность функций вида sin n(t-t0) то она ограничена 1 . При умножении на a(t) получаем -
a(t) *sin n(t-t0) из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как она не равностепенно непрерывна. Почему?

[ewert]

Неудачный контрпример -- ковыряться надобно. Лучше возьмите мой, там всё прозрачно. И с равностепенной непрерывностью возиться не придётся.