2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показать что оператор не является компактным.
Сообщение02.11.2009, 23:47 


05/01/09
57
Оператор действует из пространства ограниченных и непрерывных функций на R в такое же пространство.

$Tf(t)=\int_\mathbb{R}\  k(t-s) f(s)\ ds $

Где $k(t)=\left\{ \begin{array}{rcl}\  1 &  \mbox{for}
& |t|\leq1 \\ 0 & \mbox{for} & |t|>1 \\ \end{array}\right$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 00:43 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Может быть, стоит поэкспериментировать с индикаторами вида $\chi_{[n,n+1]}$ как системой функций $\{f_n\}$? Оно, конечно, не непрерывно - но можно приблизить и непрерывными.

Идея в том, что оно все ограничено и должно бы переводиться во вполне ограниченное множество, а не переводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 01:23 


05/01/09
57
А как вообще доказать что оператор умножения на функцию в пространстве BC(R) не является компактным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 10:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
id в сообщении #257768 писал(а):
Может быть, стоит поэкспериментировать с индикаторами вида $\chi_{[n,n+1]}$ как системой функций $\{f_n\}$? Оно, конечно, не непрерывно - но можно приблизить и непрерывными.

А зачем приближать? Просто берём более-менее любую функцию (например, убывающую на бесконечности) и размножаем её в бесконечную. последовательности сдвигами. Естественно, ни о какой предкомпактности и речи не будет.

-- Вт ноя 03, 2009 11:36:39 --

merlin в сообщении #257785 писал(а):
А как вообще доказать что оператор умножения на функцию в пространстве BC(R) не является компактным?

А как вообще умножение на функцию может породить равностепенную непрерывность, если её не было?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 12:34 
Экс-модератор


17/06/06
5004
ewert в сообщении #257835 писал(а):
А как вообще умножение на функцию может породить равностепенную непрерывность, если её не было?...
Умножение на тождественный ноль? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 14:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AD в сообщении #257857 писал(а):
ewert в сообщении #257835 писал(а):
Умножение на тождественный ноль? :mrgreen:

Правильно, только так.

А в общем случае надо просто взять любую ограниченную последовательность непрерывных функций, стремящуюся поточечно к разрывной. Это же будет верно и после умножения на функцию (если, конечно, точка разрыва не является нулём умножаемой функции). Т.е. на выходе, как и на входе, последовательность не будет предкомпактной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 20:05 


05/01/09
57
Пример из книги.
Если взять последовательность функций вида sin n(t-t0) то она ограничена 1 . При умножении на a(t) получаем -
a(t) *sin n(t-t0) из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как она не равностепенно непрерывна. Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать что оператор не является компактным.
Сообщение03.11.2009, 20:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Неудачный контрпример -- ковыряться надобно. Лучше возьмите мой, там всё прозрачно. И с равностепенной непрерывностью возиться не придётся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group