Абсолютная сходимость ряда

[milkwacko]

Всем добрый вечер!
Не могу решить пример.
Исследовать ряд на абсолютную, условную и равномерную сходимость:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} - \frac{\sin((n+1)x)}{\sqrt{n+1}}, |x|<1$$

С равномерной сходимостью все просто, с критерия Коши все сокращается кроме первого и последнего членов и далее оценивается. Следовательно, ряд и просто сходится. А вот исследовать на абсолютную сходимость, идей никаких. Быть может, кто-нибудь что подскажет?

[ИСН]

Абсолютной сходимости, очевидно, нет. Теперь - почему. Потому, что среди ряда модулей будут достаточно часто (может, один на сотню. Ну, смотря какой у нас $x$) попадаться члены, ограниченные снизу штукой порядка $1\over\sqrt n$ с какой-то константой. Маленькой. Но всё-таки снизу.
Теперь всё это как-то надо обсказать строго.

[milkwacko]

ИСН, т.е. вы предлагаете выделить из последовательности частичных сумм неограниченную подпоследовательность? Идея понятна, я пытаюсь формализовать..

[ewert]

Замените во втором слагаемом $\sqrt{n+1}$ на $\sqrt n$. От этого абсолютная сходимость, очевидно, не изменится (поскольку ряд из поправок оценивается через степень 3/2 и, следовательно, сходится абсолютно). А после замены синусы в числителе сворачиваются и -- ну какая уж там абсолютная сходимость... (кроме, конечно, случая $x=2\pi k$)

[milkwacko]

ewert, а можно поподробнее насчет "замените"? Каким образом производится замена? И что означает ряд из поправок?

[ewert]

Общий член есть

$$-2\sin{x\over2}\cdot{\cos(n+{1\over2})x\over\sqrt n} + \sin\big((n+1)x\big)\cdot\left({1\over\sqrt n}-{1\over\sqrt{n+1}}\right).$$

Ряд из последних слагаемых сходится абсолютно. Если бы сходился абсолютно и весь ряд -- то это было бы верно и для ряда из первых слагаемых. Но это очевидно неверно.

[milkwacko]

большое спасибо!

[ewert]

только я малость зазевался -- $x\neq\pi k$, конечно