2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 22:39 
Всем добрый вечер!
Не могу решить пример.
Исследовать ряд на абсолютную, условную и равномерную сходимость:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} - \frac{\sin((n+1)x)}{\sqrt{n+1}}, |x|<1$$

С равномерной сходимостью все просто, с критерия Коши все сокращается кроме первого и последнего членов и далее оценивается. Следовательно, ряд и просто сходится. А вот исследовать на абсолютную сходимость, идей никаких. Быть может, кто-нибудь что подскажет?

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 22:53 
Аватара пользователя
Абсолютной сходимости, очевидно, нет. Теперь - почему. Потому, что среди ряда модулей будут достаточно часто (может, один на сотню. Ну, смотря какой у нас $x$) попадаться члены, ограниченные снизу штукой порядка $1\over\sqrt n$ с какой-то константой. Маленькой. Но всё-таки снизу.
Теперь всё это как-то надо обсказать строго.

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:02 
ИСН, т.е. вы предлагаете выделить из последовательности частичных сумм неограниченную подпоследовательность? Идея понятна, я пытаюсь формализовать..

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:04 
Замените во втором слагаемом $\sqrt{n+1}$ на $\sqrt n$. От этого абсолютная сходимость, очевидно, не изменится (поскольку ряд из поправок оценивается через степень 3/2 и, следовательно, сходится абсолютно). А после замены синусы в числителе сворачиваются и -- ну какая уж там абсолютная сходимость... (кроме, конечно, случая $x=2\pi k$)

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:13 
ewert, а можно поподробнее насчет "замените"? Каким образом производится замена? И что означает ряд из поправок?

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:25 
Общий член есть
$$-2\sin{x\over2}\cdot{\cos(n+{1\over2})x\over\sqrt n} + \sin\big((n+1)x\big)\cdot\left({1\over\sqrt n}-{1\over\sqrt{n+1}}\right).$$
Ряд из последних слагаемых сходится абсолютно. Если бы сходился абсолютно и весь ряд -- то это было бы верно и для ряда из первых слагаемых. Но это очевидно неверно.

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:44 
большое спасибо!

 
 
 
 Re: Абсолютная сходимость ряда
Сообщение02.11.2009, 23:48 
только я малость зазевался -- $x\neq\pi k$, конечно

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group