Медиана и биссектриса в треугольнике

[Novi4ok]

Помогите пожалуйста решить задачу! Я сама пыталась решить, но не получается. Понимаю, что надо как-то связать биссектрису и медиану, но не могу

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А медиана АМ пересекает биссектрису СК в отношении 7 к 2, считая от вершины С. СК и АМ пересекаются в точке О. Найти надо синус острого угла В.

Заранее благодарна за любую помощь!

[Батороев]

Сдается мне, что задача некорректная. При заданных условиях биссектриса должна делиться в отношении 2 к 1.

[gris]

2 к 1 делилась бы медиана, проведённая из С.
Если по тупому, то надо принять гипотенузу за 1, катет $BA$ за $x$ и выразить отношение кусков биссектрисы через $x$, который и будет синусом угла B. Использовать отношение площадей кусков треугольника.
Но должно быть красивое геометрическое решение.

[bot]

Дык, просто опустите перпендикуляры из $O, M$ на $AC$ из возникающих подобий найдёте отношение отрезков, на которые разбивается медиана (по их проекциям), отсюда по свойству биссектрицы получится отношение противоположного катета к полугипотенузе, отсюда ответ $\sin B=2/5$

[Батороев]

Понял, где не прав.

[bot]

Вспоминал, вспоминал, как называют теорему о пропорциональности отрезков при разбиении угла параллельными линиями, так и не вспомнил - потому иносказательно и написал про подобия, ведь это тоже правда. Так и до сих пор не могу вспомнить Подскажите - напрочь заклинило.

-- Пн ноя 02, 2009 13:21:46 --

Тьфу, чёрт -Фалеса.

[TOTAL]

bot в сообщении #257521 писал(а):

Тьфу, чёрт -Фалеса.

Неравенство Коши-Буняковского, теорема Чёрт-Фалеса.

Можно провести через $B$ прямую параллельно $MA$ и пересечь её с продолжением $CK$ в т. $N.$
Треугольники $AOK, BNK$ подобны.

[Novi4ok]

Спасибо большое за помощь!