устойчивость по Ляпунову

[g-a-m-m-a]

Пусть дана система $\dot x=f(x),\,x\in\mathbb R^n.$
Показать, что если все решения, для которых $||x(t_0)||<M,$ равномерно асимптотически стремятся к нулю, то все такие решения устойчивы по Ляпунову.
Заранее спасибо))

[shwedka]

какой учебник?
Прочитайте определение устойчивости по Ляпунову. Получится автоматически.

[ewert]

Ну не совсем всё-таки автоматом.

Доказывайте от противного. Сформулируйте определение устойчивости по Ляпунову -- и формально его обратите. Если некоторая траектория $x_0(t)$ (с начальным условием $y_0$, где $\|y_0\|<M$) не является устойчивой, то существует последовательность траекторий $x_n(t)$ (с начальными условиями $y_n\to y_0$) и последовательность моментов времени $t_n$ такие, что ?...

А потом доказывайте, что это противоречит равномерному стремлению всех траекторий к нулю. Если $t_n\to+\infty$. Если же они ($t_n$) ограничены -- то соображения компактности входят в противоречие с соображениями непрерывности.