2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 устойчивость по Ляпунову
Сообщение01.11.2009, 00:10 
Пусть дана система $\dot x=f(x),\,x\in\mathbb R^n.$
Показать, что если все решения, для которых $||x(t_0)||<M,$ равномерно асимптотически стремятся к нулю, то все такие решения устойчивы по Ляпунову.
Заранее спасибо))

 
 
 
 Re: устойчивость по Ляпунову
Сообщение01.11.2009, 01:12 
Аватара пользователя
какой учебник?
Прочитайте определение устойчивости по Ляпунову. Получится автоматически.

 
 
 
 Re: устойчивость по Ляпунову
Сообщение01.11.2009, 09:23 
Ну не совсем всё-таки автоматом.

Доказывайте от противного. Сформулируйте определение устойчивости по Ляпунову -- и формально его обратите. Если некоторая траектория $x_0(t)$ (с начальным условием $y_0$, где $\|y_0\|<M$) не является устойчивой, то существует последовательность траекторий $x_n(t)$ (с начальными условиями $y_n\to y_0$) и последовательность моментов времени $t_n$ такие, что ?...

А потом доказывайте, что это противоречит равномерному стремлению всех траекторий к нулю. Если $t_n\to+\infty$. Если же они ($t_n$) ограничены -- то соображения компактности входят в противоречие с соображениями непрерывности.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group