Вычислить сумму ряда.

[Imperator]

Вычислить $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n}}{n^{3}}$.

[Руст]

Надо вычислить

$$x=\frac{3-\sqrt 5 }{2},f(x)=\sum_n \frac{x^n}{n^3},x(xf'(x))'=\sum_n \frac{x^n}{n} =-ln(1-x).$$

Это сводит к вычислению интегралов. Правда я не уверен, что они вычисляются аналитический.

[ИСН]

Если бы они вычислялись аналитически, то дзета от трёх была бы нормальным числом, а не тем, чем она есть, ведь правда?

[Руст]

Именно из-за этого выразил неуверенность. Правда из-за несуществования аналитического выражения

$$\int_0^a g(y)dy$$

при a=1 (к чему сводится дзета от 3 в этом случае) не следует, что нет аналитического выражения для некоторого специфического значения, каким можеть быть случай $a=\frac{3-\sqrt 5 }{2}$.

[bot]

Руст писал(а):

Надо вычислить

$$x(xf'(x))'=\sum ...$$

Это сводит к вычислению интегралов. Правда я не уверен, что они вычисляются аналитически.

На этом пути ведь уравнение Эйлера получается. А если сразу взять $F(t)=f(e^t)$, то двойное дифференцирование даст:
$F''(t)=-ln(1-e^t)$
Начальные условия теперь естественнее ставить не при x=0 (то есть t=-oo), а при t=0 (x=1), где дзета сразу и вылезает.
Явно специфику x надо как-то использовать. Рассмотрение сопряжённого может что-то даст?

[maxal]

Точное значение:

$$\frac{4}{5}\zeta(3) + \frac{1}{15} \pi^2 \ln \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{12} \left(\ln \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^3.$$

[незваный гость]

Похоже, численно не совпадает... Хотя, быть может, Mathematica врет.

[maxal]

Еще раз проверил в PARI/GP:

? 4/5*zeta(3)+1/15*Pi^2*log((3-sqrt(5))/2) - 1/12*log((3-sqrt(5))/2)^3
%1 = 0.40268396295210902115995944818251114222
? sum(n=1,100,((3-sqrt(5))/2)^n/n^3)
%2 = 0.40268396295210902115995944818251114216

Вроде сходится.

[незваный гость]

Виноват-с. К старости стал слаб глазами -- и вместо куба квадрат запузырил в последнем слагаемом.