2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычислить сумму ряда.
Сообщение06.07.2006, 13:16 
Вычислить $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n}}{n^{3}}$.

 
 
 
 
Сообщение06.07.2006, 13:44 
Надо вычислить
$$x=\frac{3-\sqrt 5 }{2},f(x)=\sum_n \frac{x^n}{n^3},x(xf'(x))'=\sum_n \frac{x^n}{n} =-ln(1-x).$$
Это сводит к вычислению интегралов. Правда я не уверен, что они вычисляются аналитический.

 
 
 
 
Сообщение06.07.2006, 14:52 
Аватара пользователя
Если бы они вычислялись аналитически, то дзета от трёх была бы нормальным числом, а не тем, чем она есть, ведь правда?

 
 
 
 
Сообщение06.07.2006, 16:06 
Именно из-за этого выразил неуверенность. Правда из-за несуществования аналитического выражения $$\int_0^a g(y)dy$$ при a=1 (к чему сводится дзета от 3 в этом случае) не следует, что нет аналитического выражения для некоторого специфического значения, каким можеть быть случай $a=\frac{3-\sqrt 5 }{2}$.

 
 
 
 
Сообщение07.07.2006, 06:12 
Аватара пользователя
Руст писал(а):
Надо вычислить
$$x(xf'(x))'=\sum ...$$
Это сводит к вычислению интегралов. Правда я не уверен, что они вычисляются аналитически.

На этом пути ведь уравнение Эйлера получается. А если сразу взять $F(t)=f(e^t)$, то двойное дифференцирование даст:
$F''(t)=-ln(1-e^t)$
Начальные условия теперь естественнее ставить не при x=0 (то есть t=-oo), а при t=0 (x=1), где дзета сразу и вылезает.
Явно специфику x надо как-то использовать. Рассмотрение сопряжённого может что-то даст?

 
 
 
 
Сообщение07.07.2006, 07:31 
Аватара пользователя
Точное значение:
$$\frac{4}{5}\zeta(3) + \frac{1}{15} \pi^2 \ln \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{12} \left(\ln \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^3.$$

 
 
 
 
Сообщение07.07.2006, 08:07 
Аватара пользователя
:evil:
Похоже, численно не совпадает... Хотя, быть может, Mathematica врет.

 
 
 
 
Сообщение07.07.2006, 08:25 
Аватара пользователя
Еще раз проверил в PARI/GP:
Код:
? 4/5*zeta(3)+1/15*Pi^2*log((3-sqrt(5))/2) - 1/12*log((3-sqrt(5))/2)^3
%1 = 0.40268396295210902115995944818251114222
? sum(n=1,100,((3-sqrt(5))/2)^n/n^3)
%2 = 0.40268396295210902115995944818251114216

Вроде сходится. :lol:

 
 
 
 
Сообщение07.07.2006, 09:46 
Аватара пользователя
:evil:
Виноват-с. К старости стал слаб глазами -- и вместо куба квадрат запузырил в последнем слагаемом.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group