Физика на мехмате.

[peregoudov]

AD в сообщении #256112 писал(а):

Хмм. Слышал и другие мнения

Пусть это плохая аналогия, но я за время учебы никогда к знакомым с мехмата за помощью по математике не обращался. А вот моего одногруппника как-то попросили помочь сосчитать интеграл. Он там что-то лихо разложил в ряд, почленно проинтегрировал и обратно свернул, все заняло три строчки. Математики посмотрели и сказали: "Нет, у нас так никто не стал бы считать." "Но почему?" --- удивился мой одногруппник. "Очень трудно доказывать законность всех этих действий".

Хорошая иллюстрация разницы в подходах, правда? Вот и помощи от математиков физики ожидают не в "доказательстве законности", а в фактическом вычислении интеграла. И до тех пор, пока (точнее --- с тех пор, как) "доказательство законности" будет (точнее --- стало) для математиков священной коровой и смыслом жизни, с помощью туго.

AD в сообщении #256112 писал(а):

Если не понял формально - не понял вообще.

Тут нужно прояснить смысл глагола "понять". Вы, наверное, имеете в виду, что снабженный строгим формальным доказательством студент-математик сможет воспроизвести его на экзамене? А если доказательство будет нестрогое, либо с пробелами --- не сможет? Мне кажется, что понимание --- это нечто другое. Ну вот как вы пытаетесь без инструкции научиться пользоваться стиральной машиной (сотовым телефоном, и т. п.). И после многих тыков --- "А, понял!"

Sekhmet в сообщении #256130 писал(а):

Вывод был однозначен: с физиками о математике лучше не говорить.

На самом деле говорить можно, нужно только понимать специфику. Физиков мало интересуют технические детали математических доказательств. Когда я у Саймона читаю, что первоначально теорема была доказана в предположении 333-кратной дифференцируемости функции эф, и лишь затем значительными усилиями Бобса, Джонса и Дули количество производных было уменьшено до семи --- мне смешно. Поймите, физики никогда не будут задумываться, какие условия гладкости нужно наложить на функцию "вообще". Потому что, с одной стороны, в половине реальных задач она аналитическая/бесконечно дифференцируемая, а в другой половине она заведомо плохая и все равно под теорему не попадает, а решать задачу надо. Вот тут уже упоминали "оснащенные гильбертовы пространства" и работу с дельта-функций как с обычной функцией. Да, математикам надо понимать, что, скажем, в задаче рассеяния вы не заставите физиков использовать волновые пакеты. Они таки будут "искать решение в виде" $e^{ikz}+fe^{ikr}/r$. И чихать им на ваши гильбертовы пространства.

В то же время физики с удовольствием будут пользоваться каким-нибудь математическим понятием, если оно хорошо отражает те объекты, с которыми им приходится иметь дело. Вот именно на уровне понятий и идей и должен вестись диалог, только объяснять свои понятия следует не формально, а образно, на примерах. Тогда все получится.

Судя же по вашему описанию, ваш шеф пытался разговаривать с какими-то уж совсем неграмотными физиками. Практически, если математики смогут разговаривать с какими-то физиками, то это будут физики-теоретики. Внутри физики расслоение столь велико, что я с большинством экспериментаторов сам не могу разговаривать.

RIP в сообщении #254303 писал(а):

наличие дифференцирования по количеству молекул в статистической физике (или что-то вроде этого, уже не помню) меня вводили в когнитивный диссонанс

RIP в сообщении #256132 писал(а):

Что утверждается в теореме Нётер, которая у нас была в физике, я вроде бы так и не понял, хотя и не очень стремился, если честно.

Ну вот давайте я попробую объяснить (Мне больше нравится разговор о конкретном, чем "вообще".)

Вам непонятно, как можно дифференцировать по параметру, принимающему лишь целые значения? Вам просто плохо объяснили. В действительности сначала делается так называемый "статистический предельный переход", то есть для всех интересных термодинамических величин вычисляется либо предел $\lim_{N\to\infty,V=vN}F(\theta,V,N)/N$, либо предел $\lim_{N\to\infty,V=vN}g(\theta,V,N)$. Величины первого типа называются аддитивными (они как бы пропорциональны числу частиц), а второго --- неаддитивными. В результате получаются функции уже не трех, а двух переменных $\theta$, $v$, и никаких целых переменных уже нет. Далее, принято записывать "как бы исходные величины" в виде $N\tilde f(\theta,V/N)$ и $\tilde g(\theta,V/N)$ (буквы с тильдами --- те самые пределы), возвращая третью переменную. И только потом уже по ней дифференцируют. То есть дифференцируют по вещественной переменной, которая прямого отношения к целочисленной не имеет, хоть и обозначается той же буквой.

Про теорему Нетер. Давайте рассмотрим частный случай, возможно, вам пытались рассказывать более сложный. Пусть задан лагранжиан $L(q, \dot q)$ (под q понимаем набор координат. Тут вам, наверное, не понравятся обозначения, ну, можно всюду заменить $\dot q$ на $r$). Пусть он остается инвариантным под действием однопараметрического множества преобразований $q\to Q=Q(q,\lambda)$ ($\lambda$ --- параметр), то есть

$$ L\!\left(Q(q,\lambda), \dot q\frac{\partial Q(q,\lambda)}{\partial q}\right)= L(q,\dot q). $$

Тогда уравнения Лагранжа имеют первый интеграл

$$ I=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q}\frac{\partial Q(q,\lambda)}{\partial\lambda}\right|_{\lambda=0} $$

(ну, или любое другое значение $\lambda$). Простой пример. Если $Q=q+\lambda$ --- симметрия сдвига по координате, то $I=\partial L/\partial\dot q$ --- сохраняется соответствующий импульс.

А вообще к проблеме недостаточной формализованности физики нужно относиться творчески: именно вы, математики, и должны ее формализовать. А затем понять

[ewert]

peregoudov в сообщении #256738 писал(а):

Да, математикам надо понимать, что, скажем, в задаче рассеяния вы не заставите физиков использовать волновые пакеты. Они таки будут "искать решение в виде" $e^{ikz}+fe^{ikr}/r$. И чихать им на ваши гильбертовы пространства.

Ага, а потом удивляться: и куды эт асимптотическая полнота подевалась?... и где недостающие каналы рассеяния?...

[peregoudov]

Вы, товарищ, о чем-то не о том. Вопрос каналов не имеет отношения к дилемме "плоская волна--- волновой пакет".

[ewert]

peregoudov в сообщении #256740 писал(а):

Вопрос каналов не имеет отношения к дилемме "плоская волна--- волновой пакет".

А нет такой дилеммы. Ибо нет плоских волн в чистом виде.

[Sekhmet]

Цитата:

Вот и помощи от математиков физики ожидают не в "доказательстве законности", а в фактическом вычислении интеграла.

И совершенно зря. Без доказательства законности все выводы, не только физиков, но и математиков, химиков, биологов, психологов и т.п. абсолютно бесполезны. В итоге, после лихих раскладываний в ряд, почленных дифференцирований и не менее лихих сворачиваний, расходящийся интеграл превращается в сходящийся. А потом аварии на СШГЭС... ну и так далее.

[Xaositect]

peregoudov в сообщении #256738 писал(а):

Хорошая иллюстрация разницы в подходах, правда? Вот и помощи от математиков физики ожидают не в "доказательстве законности", а в фактическом вычислении интеграла.

Ну, собственно, эту помощь математики обеспечили, алгоритмы интегрирования работают(численные лучше, символьные хуже), и именно потому, что законность всех используемых в них фактов доказана.

[peregoudov]

ewert в сообщении #256741 писал(а):

Ибо нет плоских волн в чистом виде.

А никто и не говорит, что они есть. Это удобная модель для расчета амплитуды рассеяния. И физики от нее не откажутся. Они не боятся, в отличие от математиков, вывалиться из гильбертова пространства, потерять ориентацию и сгинуть во Тьме.

Sekhmet в сообщении #256742 писал(а):

В итоге, после лихих раскладываний в ряд, почленных дифференцирований и не менее лихих сворачиваний, расходящийся интеграл превращается в сходящийся.

Ну так вроде даже методы такие есть. Суммирование по Борелю, например.

ewert в сообщении #256739 писал(а):

Ага, а потом удивляться: и куды эт асимптотическая полнота подевалась?... и где недостающие каналы рассеяния?...

Sekhmet в сообщении #256742 писал(а):

А потом аварии на СШГЭС... ну и так далее.

Эээ... Как-то вы быстро опустились до совсем уж низкопробного кликушества.

Я бы хотел предостеречь вас от мыслей, что физики не знают математики или имеют какие-то проблемы именно из-за своего незнания. Это позиция глупая и опасная. Вот кусочек воспоминаний С. С. Герштейна именно о таком случае.

Цитата:

Мой друг математик как-то упомянул, что И.М. Гельфанд решил заняться квантовой теорией поля, поскольку, на его взгляд, все трудности в ней возникают из-за того, что физики плохо знают математику. Через некоторое время мой друг сказал: «Гельфанд все сделал». «Что он сделал?», — спросил я. «Все», — ответил математик. Этот слух широко распространился, и Израиль Моисеевич был приглашен сделать доклад на семинаре Ландау.

Гельфанд допустил невиданную выходку — опоздал на 20 минут. У доски уже выступал другой докладчик. Но Лев Давидович попросил его уступить место Гельфанду. Вопреки обычаям, Ландау не разрешил Абрикосову и Халатникову выступать с возражениями по ходу доклада, а устроил буквально разгром после его окончания. Рассказывали, будто после семинара Израиль Моисеевич сказал, что физики-теоретики далеко не так просты, как он думал, и что теорфизика очень близка к математике, поэтому он займется чем-то другим, скажем, биологией.

Впоследствии, когда Лев Давидович лежал после аварии в Институте нейрохирургии, выяснилось, что там работает Гельфанд. «Чем он тут занимается?», — спросил кто-то из физиков главного врача Егорова. «Вы лучше сами у него спросите», — ответил тот.

Sekhmet в сообщении #256742 писал(а):

Без доказательства законности все выводы, не только физиков, но и математиков, химиков, биологов, психологов и т.п. абсолютно бесполезны.

Ну, это типичный символ веры математиков. У физиков просто другой символ веры: в реальной жизни полезность и бесполезность определяется практикой.

Xaositect в сообщении #256762 писал(а):

алгоритмы интегрирования работают(численные лучше, символьные хуже), и именно потому, что законность всех используемых в них фактов доказана.

Ну, что вы такое говорите?! Методы замечательно работали в руках Ньютона и Эйлера, которые, по современным меркам, понятия не имели о математической строгости! На самом деле всякое доказательство (хоть математическое, хоть "на физическом уровне строгости", хоть соображение по аналогии) есть всего лишь оценка правдоподобия выдвинутой гипотезы. Просто для математического доказательства эта оценка выше, хотя и тут можно поспорить.

Но мы куда-то отходим от темы. Вопрос был в том, почему математики так плохо усваивают физику, и что нужно сделать (и можно ли вообще), чтобы они ее усваивали лучше.

[ewert]

peregoudov в сообщении #256883 писал(а):

Это удобная модель для расчета амплитуды рассеяния. И физики от нее не откажутся.

Математики, между прочим, тоже. Только они понимают математический смысл этой модели.

peregoudov в сообщении #256883 писал(а):

Я бы хотел предостеречь вас от мыслей, что физики не знают математики или имеют какие-то проблемы именно из-за своего незнания.

Ну, до определённой степени знают. А не страдают потому, что пользуются своим знанием статистически: посчитают так, эдак, сравнят с экспериментом, и если результаты худо-бедно сойдутся -- то и ладно. Подход -- неизбежный для экспериментальной науки. Да и для математики тоже полезный. Только это всё-таки не математика.

peregoudov в сообщении #256883 писал(а):

, почему математики так плохо усваивают физику, и что нужно сделать (и можно ли вообще), чтобы они ее усваивали лучше.

Ничего невозможно сделать, если эти математики не ориентированы на физические приложения. Ориентация же -- это вопрос моды; точнее, социального заказа. В 60-е годы физика была наукой номер один, вот математики массово ею и интересовались (собственно, Новиков об этом и говорил). Ну а сегодня, особенно в нашей стране...

[AD]

peregoudov в сообщении #256738 писал(а):

Тут нужно прояснить смысл глагола "понять". Вы, наверное, имеете в виду, что снабженный строгим формальным доказательством студент-математик сможет воспроизвести его на экзамене? А если доказательство будет нестрогое, либо с пробелами --- не сможет?

Вот именно Нестрогое доказательство можно только зазубрить. Собственно, в этом и проблема - в разных смыслах слова "понять".

[ewert]

AD в сообщении #256919 писал(а):

Собственно, в этом и проблема - в разных смыслах слова "понять".

Просто разные предметы исследования. В физике озабочены в основном не формальной строгостью (хотел было сказать "математической", но спохватился -- другой-то в этом круге вопросов и не бывает), а хоть какой-то адекватностью использования матзначков наблюдаемой реальности. Формально-математические ошибки тут маловероятны: всё-таки физики по необходимости учат матаппарат и по привычке применяют его обычно (но не обязательно!) правильно. Математики же -- ровно наоборот: плевать им на экспериментальные данные, лишь бы формально было корректно.

Это утрированно. На самом деле оба подхода необходимы, просто желателен некоторый баланс.

[Nik_Svan]

А еще можно поразглагольствовать насчет матфизики на физфаке или обратиться к первой официальной пассии Эйнштейна.

[ewert]

Nik_Svan в сообщении #256968 писал(а):

А еще можно поразглагольствовать насчет матфизики на физфаке

Невозможно, это святое без оговорок.

[peregoudov]

ewert в сообщении #256908 писал(а):

Только они понимают математический смысл этой модели.

И это согревает им душу студеными зимними вечерами? Вы что, в самом деле думаете, что физики не знают про волновой пакет?

ewert в сообщении #256908 писал(а):

Только это всё-таки не математика.

Так и предмет, преподавание которого мы обсуждаем, называется --- "физика"

ewert в сообщении #256908 писал(а):

Ничего невозможно сделать,

Аминь. Ну, почему же нельзя? Можно попытаться формализовать курс. С большей частью работы сами физики справятся, тонкие места можно с математиками обсудить.

Сами математики могли бы относится к предмету творчески. Не надо ждать, что тебе, как на матанализе, все разложат по полочкам. Воспринимайте физику как сырец, из которого нужно выпечь кирпич строгой математической теории! Как вам такое домашнее задание: формализовать термодинамику. Литература --- ЛЛ5?

Тут еще есть такой момент. Физику на мехмате читает моя родная кафедра теорфизики, я просто хорошо знаю этих людей (Жуковского, Борисова, Граца...) и их отношение к проблеме. Не обижайтесь за аналогию, но физика на мехмате --- что-то типа КСЕ (концепции современного естествознания) для психологов или философов, курс, в котором пытаются рассказать, до чего типа дошел прогресс Физики --- люди вполне вменяемые, прекрасно видят, что никто ничего не понимает, и не уверены, что от попыток что-то изменить станет лучше.

AD в сообщении #256919 писал(а):

Нестрогое доказательство можно только зазубрить.

Дык и строгое можно только зазубрить. Спросите любого студента технического вуза (я сам таких учу). На мой взгляд, невозможно "понять логику", ее можно только проверить по табличке истинности. Но это никоим образом не дает конструктивных механизмов для овладения уже готовым материалом либо для генерации нового. На самом деле для воспроизведения доказательства (на экзамене) нужны наводящие соображения, наглядные образы и т. п. --- вещи вовсе нестрогие. Вот в соседней теме PAV об этом много разумных слов написал (там еще другие его посты почитать стоит). И разница между физиками и математиками в основном в том, что физику вот этих наглядных образов хватает, а математик идет дальше и осваивает строгое формальное доказательство. На самом деле и физик, при необходимости, будет обосновывать некоторые вещи более строго. И поверьте, у физиков есть, опять же нестрогие , способы определить, где можно провраться и стоит поэтому быть аккуратным.

ewert в сообщении #256956 писал(а):

В физике озабочены в основном не формальной строгостью (хотел было сказать "математической", но спохватился -- другой-то в этом круге вопросов и не бывает), а хоть какой-то адекватностью использования матзначков наблюдаемой реальности.

Знаете, я вот тут еще раз повторю, что физики сильно расслоены. Тру-теоретики (это типа ругательство, вы бы видели, какие на Дубине по этому поводу страсти кипят!), которые обучались на теоретических кафедрах и занимаются серьезной теорфизикой, обычно применяют математику правильно и на компромисс с экспериментом не идут. Если даже их слова порой вызывают раздражение математиков, то скорее по форме, а не по сути (хотя... если под сутью понимать формализм...). Обычно все можно формализовать или сказать другими словами, не вызывая раздражения. Почему так не делают? Тому есть много причин: удобство, традиция и т. д.

В то же время мне приходилось сталкиваться с доморощенными теоретиками (это такие, которые обучались на кафедрах пожиже и занимаются "маленькой физикой", например, магнитными вещами), которые рассуждают буквально так. Пишут уравнение, затем пишут типа "решение". Я им говорю: "Так оно же уравнению не удовлетворяет!" А они: "Мы из эксперимента знаем, какое должно быть решение." Это, конечно, в чистом виде наукообразие: работа "без формул" выглядит несолидно, надо чего-нибудь написать.

Nik_Svan в сообщении #256968 писал(а):

А еще можно поразглагольствовать насчет матфизики на физфаке

ewert в сообщении #256971 писал(а):

Невозможно, это святое без оговорок.

Это вы о чем? Я что-то пропустил?

Все-таки интересно было бы с конкретными приведенными выше непонятками разобраться. В каком виде это было бы понятно математикам? Подозреваю, что и я недостаточно понятно объяснил.

[ewert]

peregoudov в сообщении #257317 писал(а):

Nik_Svan в сообщении #256968 писал(а):

А еще можно поразглагольствовать насчет матфизики на физфаке

ewert в сообщении #256971 писал(а):

Невозможно, это святое без оговорок.

Это вы о чем? Я что-то пропустил?

О том, что невозможно не читать курс матфизики на физфаке. При этом сами-то уравнения студентам уже хорошо знакомы, а курс занимается лишь их причёсыванием. И это не может (скажем мягче: не должно) вызывать отторжения, именно потому, что привычен физический смысл обсуждаемых математических понятий. На матмехе -- наоборот, конечно, им в силу непривычности физики и матфизика не в жилу.

На остальное отвечать как-то неохота. Как-то не уверен, что мы с Вами именно спорим.

[peregoudov]

А мы не спорим. Мы обмениваемся мнениями.

Вот что еще мне было бы интересно --- это добить те два вопроса RIP'а (про дифференцирование по числу частиц и про теорему Нетер). Как все-таки нужно излагать это математикам, чтобы они поняли?