Распределение температуры.

[Kamaz]

Дано: Имеется плоскость, с вырезанной областью в виде диска радиуса $R$. Пусть на бесконечности ($r-> \inf$), где $r$ - радиус-вектор в полярной системе координат, задана постоянная
температура $T(r= \inf)=T_2$. На границе диска, т.е. $T(r=R)=T_1$. Пусть $T_1<T_2$. Найти стационарное распределение температуры $T(r)$.
Решение:
Уравнение $T''+ \frac{1}{r} T'=0$.
Решение его $T(r)=A \ln (r)+B$. Из условия на бесконечности получаем $A=0, B=T_2$. Как удовлетворить второму условию?

Прошу прощения так и не смог найти как знак бесконечности пишется.

-- Чт окт 29, 2009 02:07:47 --

Ну что-то только просмотры, ответов нет. Если решить эту задачу для кольца, с внутренним радиусом $R$ и внешним $R_1$, а потом устремить $R_1$ в бесконечность, получается ответ не зависящий от температуры при $r=R$, т.е. на внутреннем радиусе. Как-то все это странно. Видимо если плоскость бесконечная, то наличие ограниченной области на границе которой другая температура, не играет особой роли. Но все это как-то странно.

[gris]

Бесконечность пишется \infty $\infty$
А Вы разве правильно составили дифференциальное уравнение?

[Kamaz]

Спасибо, буду знать. Насчет уравнения - вроде правильно, стационарное уравнение теплопроводности вроде выглядит так: $\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\right)T+\frac{1}{r^2}\frac{d^2}{d \phi^2}T=0$. Поскольку от угла ничего не зависит, получаем то уравнение, кторое написано у меня в предыдущем посте. Если я не прав, поправьте плиз.

-- Чт окт 29, 2009 14:31:12 --

Забыл $\frac{1}{r}$ множитель в левой части перед производными по радиус-вектору

[gris]

А как решается аналогичная задача для бесконечного стержня, у которого в начале поддерживается температура $T_1$, а на бесконечности - $T_2$?

[Kamaz]

А я не знаю, подскажите, как? Ну или ссылку на конкретное решение дайте, буду признателен.

[ewert]

Kamaz в сообщении #256056 писал(а):

Как удовлетворить второму условию?

Никак. Симметричное решение уравнения Лапласа в двумерном случае -- это именно логарифм, хоть ты тресни. Поэтому задача разрешима (тривиально) только при $T_1=T_2$.

-- Чт окт 29, 2009 11:52:04 --

gris в сообщении #256173 писал(а):

А как решается аналогичная задача для бесконечного стержня,

Аналогично.

[Kamaz]

Что интересно, в трехмерном случае, задача решается нормально, посколько там не логарифм, а $\frac{1}{r}$ решение.