Произведение бесконечно малых

[unknown]

Известно, что произведение двух или любого конечного числа бесконечно малых является функцией бесконечно малой. Требуется пример, показывающий, что для бесконечных произведений это уже не всегда так

[Sintanial]

не много не понял. Разъясните, что такое "бесконечных произведений" ?

[unknown]

Извиняюсь. Не совсем точно написал. Имелось ввиду "произведение бесконечного числа бесконечно малых"

[venco]

Вообще-то "произведение бесконечного числа" даже конечных, но меньших единицы по модулю величин - уже бесконечно малая величина. Не представляю, каким образом это может оказаться неверным для бесконечно малых.
Или имеется в виду, что такое произведение просто равно нулю?

[unknown]

Думаю имеется ввиду, что получится нечто "не бесконечно малое"..

[meduza]

Может нужна сумма "бесконечного числа бесконечно малых"? Тогда это можно понять как интеграл. Произведение же будет бесконечно малым всегда.

[Бодигрим]

Странное задание. Скажите, пожалуйста, что вы называете бесконечно малой функцией?

[Xaositect]

А что-нибудь типа $\prod_{i=0}^{\infty} f_i(x)$, где $f_i(x) = \begin{cases}2,&x<i\\\frac{1}{x},&x\geq i\end{cases}$ не подойдет?

[RIP]

Например, $\prod_{n=1}^\infty(1-x)^{a_n}e^{-x^n/n}$, $x\to1-0$. Числа $a_n>0$ подберите сами, это тривиально.

[lubitel]

Xaositect
Не совсем хорошо. произведение расходится. Но идея здорова.Можно скорректировать так, что произведение всюду равно, например, единице.
На интервале $(k, k+1]$ положим $f_j(x)=2^{-j}, j\le k$, $f_{k+1}=2^{kj}$, $f_j=1$, $j>k+1$.все функции- БМ на бесконечности, но их произведение -единичка.

[Sasha2]

А такая тривиальная последовательность как
$x_n=\sqrt[n]{n}*(1-\sqrt[n]{n})$ разве не подойдет на эту роль? (При случае, можно поиграть с показателями корня).

[RIP]

Sasha2 в сообщении #256134 писал(а):

А такая тривиальная последовательность как
$x_n=\sqrt[n]{n}*(1-\sqrt[n]{n})$ разве не подойдет на эту роль?

У Вас либо только одна последовательность (тогда непонятно, что Вы собрались перемножать), либо последовательность ненулевых констант (при $n>1$; соответственно, никаких бесконечно малых).

[Sasha2]

Ну я так понимаю, автор поставил задачу следующим образом:
Найти такую последовательность, предел которой равен нулю, но бесконечное произведение, составленное из элементов этой последовательности отлично от нуля.
Я так эту задачу понял.
Поправьте, пожалуйста, если я ошибаюсь.

[Someone]

Рассмотрим последовательность функций

$$g_k(x)=\begin{cases}|kx|^k\text{ при }|x|\leqslant\frac 1k\text{,}\\ 1\text{ при }|x|>\frac 1k\text{.}\end{cases}$$

Далее определим $\alpha_1(x)=g_1(x)$, а при $k>1$ --

$$\alpha_k(x)=\begin{cases}\frac{g_k(x)}{g_{k-1}(x)}\text{ при }x\neq 0\text{,}\\ 0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$

Тогда $\alpha_k(x)$ является бесконечно малой при $x\to 0$, так как при $|x|\leqslant\frac 1k$ получается $\alpha_k(x)=\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}|x|$, но

$$\prod_{k=1}^{\infty}\alpha_k(x)=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\alpha_k(x)=\lim_{n\to\infty}g_n(x)=1\text{ при }x\neq 0\text{.}$$

[RIP]

Sasha2 в сообщении #256136 писал(а):

Найти такую последовательность, предел которой равен нулю, но бесконечное произведение, составленное из элементов этой последовательности отлично от нуля.

Такого явно не бывает. Требовается построить последовательность функций $f_n(x)$, каждая из которых является о-малой (по некоторой базе), но при этому бесконечное произведение $\prod_nf_n(x)$ сходится и не является бесконечно малой (по той же базе).