Диффузия

[AndreyL]

Друзья! Помогите, пожалуйста, с задачкой.

Есть плоская камера высотой $y_0$, заполненная раствором. В этой камере снизу растут кристаллы из раствора. Поверхность роста движется со скоростью $y(t)$. Кристаллы растут через переходный слой мощностью $x_0$, т.е. выше поверхности роста количество кристаллов нулевое, в переходном слое линейно меняется от $0$ до $f_0$, ниже переходного слоя все движения прекращаются и в межкристаллическом пространстве захоранивается некоторое количество раствора $1-f_0$.

$$f\left(x,t\right)= \left\{ \begin{array}{l} f_0 \text{ если } x \leqslant y\left(t\right)-x_0,\\ f_0 \frac {y\left(t\right)-x}{x_0}}\text{ если } y\left(t\right)-x_0<x < y\left(t\right),\\ 0\text{ если } y\left(t\right)\leqslant x, \end{array} \right.$$

Выше поверхности роста $y(t)$ работает интенсивная конвекция, обеспечивающая полное перемешивание раствора. В растворе имеется примесный компонент, его концентрацию в растворе обозначим как $C(x,t)$. Константа распределения этого компонента между кристаллами и раствором (отношение концентрации примесного компонента в кристалле к концентрации в равновесном растворе) ${\frac {C_c_r_i_s_t}{C_s_o_l}}=Kd$. С раствором взаимодействует только внешняя зона кристаллов, т.е. диффузия в кристалле равна нулю, кристаллы растут зональные, в разных зонах одного кристалла концентрация примесного компонента разная. В перехродном слое перенос примесного компонента в растворе идет по диффузионному механизму с коэффициентом диффузии $D_0$. Выше переходного слоя за счет интенсивной конвекции происходит полное перемешивание раствора (бесконечный коэффициент диффузии), ниже переходного слоя никакого массопереноса нет и коэффициент диффузии нулевой.

$$D\left(x,t\right)= \left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ если } x \leqslant y\left(t\right)-x_0,\\ D_0\text{ если } y\left(t\right)-x_0<x < y\left(t\right),\\ \infty \text{ если } y\left(t\right)\leqslant x, \end{array} \right$$

Вопрос 1. Требуется найти концентрацию примесного компонента в слоях, лежащих ниже переходного слоя, причем полную концентрацию с учетом захороненого раствора и кристаллов.

Если я не ошибся, то уравнение для концентрации примесного компонента в растворе будет выглядеть так

$$D\left( x,t \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left(1-f \left( x,t \right)\right) {\frac {\partial C\left( x,t \right)}{\partial x}}\right]=C\left( x,t \right)Kd{\frac {\partial f \left( x,t \right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(1-f\left( x,t \right)\right)C\left( x,t \right) }{\partial t}}$$

При известных скорости движения поверхности роста и мощности переходного слоя, для любой координаты $x=Z$ находим время достижения этой координаты поверхностью роста $(t_1)$ и поверхностью прекращения роста $(t_2)$: $Z=y\left(t_1\right)$ и $Z=y\left(t_2\right)-x_0$. Тогда концентрация примесного компонента в слое Z, будет

$$C_s\left(Z\right)=C\left(Z,t_2\right) \left(1-f_0\right)+Kd\int\limits_{t_1}^{t_2}C\left(Z,t\right)\frac{\partial f\left(Z,t)\right)}{\partial t} dt$$

Насколько правильны мои рассуждения?

Вопрос 2. Для того, чтобы найти концентрацию примесного компонента в слое $x=Z$ надо знать $C(Z,t)$. Можно ли без решения дифференциального уравнения найти отношение концентраций компонента в слое $C_s(Z)$ к концентрации компонента в камере $C(Z+x_0,t_2)$, т.е. эффективную константу равновесия?