2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диффузия
Сообщение27.10.2009, 15:13 


27/10/09
602
Друзья! Помогите, пожалуйста, с задачкой.
Изображение
Есть плоская камера высотой $y_0$, заполненная раствором. В этой камере снизу растут кристаллы из раствора. Поверхность роста движется со скоростью $y(t)$. Кристаллы растут через переходный слой мощностью $x_0$, т.е. выше поверхности роста количество кристаллов нулевое, в переходном слое линейно меняется от $0$ до $f_0$, ниже переходного слоя все движения прекращаются и в межкристаллическом пространстве захоранивается некоторое количество раствора $1-f_0$.
$$f\left(x,t\right)=
\left\{ \begin{array}{l}
f_0 \text{ если } x \leqslant y\left(t\right)-x_0,\\
f_0 \frac {y\left(t\right)-x}{x_0}}\text{ если } y\left(t\right)-x_0<x < y\left(t\right),\\
0\text{ если } y\left(t\right)\leqslant x,
\end{array} \right.$$
Выше поверхности роста $y(t)$ работает интенсивная конвекция, обеспечивающая полное перемешивание раствора. В растворе имеется примесный компонент, его концентрацию в растворе обозначим как $C(x,t)$. Константа распределения этого компонента между кристаллами и раствором (отношение концентрации примесного компонента в кристалле к концентрации в равновесном растворе) ${\frac {C_c_r_i_s_t}{C_s_o_l}}=Kd$. С раствором взаимодействует только внешняя зона кристаллов, т.е. диффузия в кристалле равна нулю, кристаллы растут зональные, в разных зонах одного кристалла концентрация примесного компонента разная. В перехродном слое перенос примесного компонента в растворе идет по диффузионному механизму с коэффициентом диффузии $D_0$. Выше переходного слоя за счет интенсивной конвекции происходит полное перемешивание раствора (бесконечный коэффициент диффузии), ниже переходного слоя никакого массопереноса нет и коэффициент диффузии нулевой.
$$D\left(x,t\right)=
\left\{ \begin{array}{l}
0 \text{ если } x \leqslant y\left(t\right)-x_0,\\
D_0\text{ если } y\left(t\right)-x_0<x < y\left(t\right),\\
\infty \text{ если } y\left(t\right)\leqslant x,
\end{array} \right$$
Вопрос 1. Требуется найти концентрацию примесного компонента в слоях, лежащих ниже переходного слоя, причем полную концентрацию с учетом захороненого раствора и кристаллов.

Если я не ошибся, то уравнение для концентрации примесного компонента в растворе будет выглядеть так $$D\left( x,t \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left(1-f \left( x,t \right)\right) {\frac {\partial C\left( x,t \right)}{\partial x}}\right]=C\left( x,t \right)Kd{\frac {\partial f \left( x,t \right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(1-f\left( x,t \right)\right)C\left( x,t \right) }{\partial t}}$$
При известных скорости движения поверхности роста и мощности переходного слоя, для любой координаты $x=Z$ находим время достижения этой координаты поверхностью роста $(t_1)$ и поверхностью прекращения роста $(t_2)$: $Z=y\left(t_1\right)$ и $Z=y\left(t_2\right)-x_0$. Тогда концентрация примесного компонента в слое Z, будет
$$C_s\left(Z\right)=C\left(Z,t_2\right) \left(1-f_0\right)+Kd\int\limits_{t_1}^{t_2}C\left(Z,t\right)\frac{\partial f\left(Z,t)\right)}{\partial t} dt$$
Насколько правильны мои рассуждения?

Вопрос 2. Для того, чтобы найти концентрацию примесного компонента в слое $x=Z$ надо знать $C(Z,t)$. Можно ли без решения дифференциального уравнения найти отношение концентраций компонента в слое $C_s(Z)$ к концентрации компонента в камере $C(Z+x_0,t_2)$, т.е. эффективную константу равновесия?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group