Натуральные числа

[raffos]

Возник такой вопрос. На основании чего в математике выводятся натуральные числа?

Если можно подскажите пожалуйста литературу, где про это можно почитать.

[meduza]

Например, через аксиомы Пеано

[raffos]

Цитата:

Например, через аксиомы Пеано

Извините, они служат не для вывода натуральных чисел, а для определения их свойств.

# «1 есть натуральное число»;
# «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
# «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
# «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
# Аксиома полной индукции.

Тоесть он преполагает наличия числа 1.

Аксиомы взяты с википедии

[Someone]

raffos в сообщении #255310 писал(а):

Возник такой вопрос. На основании чего в математике выводятся натуральные числа?

Э-э-э... Что значит - "на основании чего"?

[raffos]

Someone в сообщении #255319 писал(а):

Э-э-э... Что значит - "на основании чего"?

Логическое основание или натуральные числа считаются очевидными?

[meduza]

raffos в сообщении #255317 писал(а):

Тоесть он преполагает наличия числа 1.

Поэтому это называется аксиомой.

raffos, не могли бы вы формулировать свои вопросы менее размыто и более понятно. Что вы имеете ввиду под "очевидностью"? Если понимать так, как я, то да -- натуральные числа "очевидны", т.к. используются при счете: раз конфетка, два конфетка,..

[Бодигрим]

raffos в сообщении #255317 писал(а):

Тоесть он преполагает наличия числа 1.

Ну да, мы говорим, что подмножество множества произвольной природы (точек, кошек, мормышек...) может быть названо натуральными числами, если мы можем в исходном множестве пометить некоторый элемент, назвав его "1", и ввести отношение "следует" так, что выполняются вышеперечисленные аксимомы.

[raffos]

meduza

Дорогая meduza, спасибо за ответ. Вы всё правильно меня поняли.

Меня интересовало можно ли вывести натуральные числа логически.
Уже после того как задал вопрос нашел на него ответ. Через теоремы Гёделя, что через математику натуральные числа вывести нельзя.

-- Пн окт 26, 2009 22:15:23 --

Бодигрим в сообщении #255329 писал(а):

Ну да, мы говорим, что подмножество множества произвольной природы (точек, кошек, мормышек...) может быть названо натуральными числами, если мы можем в исходном множестве пометить некоторый элемент, назвав его "1", и ввести отношение "следует" так, что выполняются вышеперечисленные аксимомы.

А есть какие нибудь другие определения?

[Бодигрим]

raffos в сообщении #255335 писал(а):

Например:через условие, что последовательность не имеет начала и конца.

Обычно понятие "последовательность" вводится как раз опираясь на понятие "натуральные числа".

И я не понял, что такое последовательность, не имеющая начала и конца. В общепринятом определении у всякой последовательности есть начальный элемент.

[raffos]

Бодигрим в сообщении #255341 писал(а):

Обычно понятие "последовательность" вводится как раз опираясь на понятие "натуральные числа".

И я не понял, что такое последовательность, не имеющая начала и конца. В общепринятом определении у всякой последовательности есть начальный элемент.

Извините я не могу это объяснить, не владею терминологией и соответсвующими знаниями. Про последовательность, спасибо, буду иметь ввиду.

Если можно просветите есть ли какие-нибудь альтернативные определение.

[Someone]

Натуральное число - это обобщение опыта, накопленного как отдельным человеком, так и всем человечеством в практике счёта предметов. Это и есть основание для введения натурального числа в математике.

В современной математике представления о натуральном числе, основанные на этом опыте, формализуются в виде той или иной системы аксиом. Не обязательно аксиом Пеано.
Кстати, та система аксиом, которую Вы "сформулировали", даёт весьма ограниченную формальную систему. Полный набор аксиом включает также операции сложения и умножения и аксиомы для них.

raffos в сообщении #255317 писал(а):

Извините, они служат не для вывода натуральных чисел, а для определения их свойств.

А математикам ничего, кроме свойств натуральных чисел, и не требуется. Любая конкретизация "природы" натурального числа будет сужать область применения натуральных чисел. Я читал о племени, у которого были различные числа для счёта длинных предметов и для счёта круглых предметов. С помощью чисел для круглых предметов нельзя было пересчитать длинные, и наоборот.

raffos в сообщении #255335 писал(а):

Меня интересовало можно ли вывести натуральные числа логически.
Уже после того как задал вопрос нашел на него ответ. Через теоремы Гёделя, что через математику натуральные числа вывести нельзя.

Непонятно. Причём тут теоремы Гёделя? Что значит - "через математику вывести нельзя"? И в каком смысле "вывести"?

[raffos]

Цитата:

Непонятно. Причём тут теоремы Гёделя? Что значит - "через математику вывести нельзя"? И в каком смысле "вывести"?

Из теорем Гёделя следует, что в математике существуют такие утверждения (например аксиомы), которые в рамках математики доказаны быть не могут.

-- Пн окт 26, 2009 22:59:51 --

Цитата:

И в каком смысле "вывести"?

Придумать. Сказать вот существует такой объект А и на основаниии логических выводов доказать, что объект А существует.

[Someone]

raffos в сообщении #255362 писал(а):

Из теорем Гёделя следует, что в математике существуют такие утверждения (например аксиомы), которые в рамках математики доказаны быть не могут.

Это совершенно банальное утверждение без всяких теорем Гёделя. Вы ведь, скорее всего, имеете о теоремах Гёделя самое туманное представление, так и не впутывайте их.

raffos в сообщении #255362 писал(а):

Цитата:

И в каком смысле "вывести"?

Придумать. Сказать вот существует такой объект А и на основаниии логических выводов доказать, что объект А существует.

С натуральными числами всякий знаком с раннего детства, поэтому "придумать" их довольно трудно.

А "существует" в каком смысле? Математические объекты (в том числе и натуральные числа) - это логические конструкции. В каком смысле они "существуют"?

Мы можем взять в качестве основы теорию множеств (например, ZFC). В ней можно указать некие объекты, для которых выполняются аксиомы Пеано (в том смысле, что для этих объектов аксиомы Пеано являются теоремами теории множеств). Можно ли считать, что мы "вывели" натуральные числа из теории множеств?

[raffos]

Цитата:

С натуральными числами всякий знаком с раннего детства, поэтому "придумать" их довольно трудно.

А "существует" в каком смысле? Математические объекты (в том числе и натуральные числа) - это логические конструкции. В каком смысле они "существуют"?

Существуют в том смысле, что я могу логически их привести к объекту и действиям реального мира.

Цитата:

Мы можем взять в качестве основы теорию множеств (например, ZFC). В ней можно указать некие объекты, для которых выполняются аксиомы Пеано (в том смысле, что для этих объектов аксиомы Пеано являются теоремами теории множеств). Можно ли считать, что мы "вывели" натуральные числа из теории множеств?

Да. Скажи, пожалуйста, как это называется в математике.

[AD]

raffos в сообщении #255465 писал(а):

Да. Скажи, пожалуйста, как это называется в математике.

Эээ.... Ну это называется "математика" ...
Ну Вам уже всё ответили. Теория множеств это называется.
Или что как называется?