Помогите пожалуйста с пределами

[Super_BOT]

Два предела с которыми уже бьюсь очень долго :(

$$\lim\limits_{n\to \infty}{n^2(\sqrt{n(n^4-1)}-\sqrt{n^5-8})}$$

$$\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{\log_5(n^2+1)}{n}}$$

[ewert]

В первом случае -- домножить и разделить на сопряжённое (т.е. на сумму корней), после чего всё ясно.

Во втором... Ну не знаю. Очевидно, конечно, что ноль (т.е. очевидно, что любой логарифм слабее любой степени). Но вот какой конкретно способ обоснования сего тривиального факта ваше начальство считает приемлемым -- это предугадать невозможно.

[Super_BOT]

Собственно по поводу первого, после домножения не совсем понятно, что делать далее, получается следующее

$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{8n^2-n^3}{\sqrt{n(n^4-1)}+\sqrt{n^5-8}}$$

По идее, нужно вынести за скобку $n^3$ в числителе и знаменателе, после чего их удачно сократить, и устремить все лишнее к нулю, но в знаменателе такая штука не прокатывает, или мне так только кажется

[ewert]

Super_BOT в сообщении #254974 писал(а):

или мне так только кажется

Только так кажется. Есть общий принцип -- выносить откуда только возможно старшую степень. В данном случае (в знаменателе) -- 5/2.

[Super_BOT]

Да, со знаменателем проблем не будет, а в числителе опять же неопределенность

$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{8n^\frac{4}{5}-n^\frac{6}{5}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^5}}+\sqrt{1-\frac{8}{n^5}}}$$

И степень 6\5 больше, и предел получается стремится к минус бесконечности, но как-то это не красиво.

[ИСН]

Очень даже определённость. (Даже когда Вы её запишете правильно. Две пятые, пять вторых, какая разница.) Да, некрасиво. Зато про войну. Уж как есть.

[ewert]

Super_BOT в сообщении #254985 писал(а):

, и придел получается стремится к минус бесконечности, но как-то это не красиво.

Красиво-некрасиво, но -- медицинский факт.

(да, и снова Вы скатываетесь к какой-то церковной терминологии; а зачем?...)

[Super_BOT]

ewert
спасиба) за помощь) а насчет церковной терминологии, сплошные чепятки

Остается только проблемный второй

[ИС]

А второй наверняка можно доказать исходя из определения... но там получается вот такая вот страшная штука

$\log_5(n^2 +1)^{\frac{1}{n}} < \varepsilon$

которую у меня никак не получается разрулить (

[ewert]

Вообще-то этот предел все нормальные люди считают просто по Лопиталю. Но если предписано поизвращаться... Ну тогда например так.

Прежде всего, следует упростить задачу, заменив $\log_5(n^2+1)$ на просто $\log_5n$ (доказав, что отношение этих двух логарифмов стремится к двойке -- это легко). Затем доказать, что последовательность $a_n={\log n\over n}$ монотонно убывает (при достаточно больших $n$), что тоже легко: в числителе разности $a_{n+1}-a_n$ получится логарифм, под которым стоит дробь ${(n+1)^n\over n^{n+1}}=(1+{1\over n})^n\cdot{1\over n}$, первый сомножитель ограничен (стремится к $e$), поэтому дробь стремится к нулю и, следовательно, логарифм от неё рано или поздно отрицателен. Из монотонности (и положительности) следует, что $a_n$ имеет конечный предел $b$. Но тогда и $a_{n^2}={\log(n^2)\over n^2}\to b$, и в то же время ${\log(n^2)\over n^2}=2{\log n\over n}\cdot{1\over n}\to b\cdot0=0$. Т.е. $b=0$.

Извращение, конечно.

[_v_l]

ewert в сообщении #255072 писал(а):

... Затем доказать, что последовательность $a_n={\log n\over n}$ монотонно убывает (при достаточно больших $n$), что тоже легко: ...

А почему бы не доказать, что убывает последовательность $b_{n}=\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}$, которая явно связана с последовательностью $a_{n}=\dfrac{\ln n}{n}$?

Мне почему-то кажется, что показать, что $b_{n}$ убывающая последовательность проще.

[bot]

А какая разница? В обоих случаях надо считать переменную $n$ вещественной, и установив монотонность с помощью производной, применить к частному случаю натурального $n$.
К слову сказать, Ваша связь - не натуральна.

-- Пн окт 26, 2009 12:47:58 --

Впрочем и без перехода к вещественному $n$ можно - монотонность легко вытекает из неравенства $(1+\frac{1}{n})^n<e$

[ewert]

_v_l в сообщении #255107 писал(а):

А почему бы не доказать, что убывает последовательность $b_{n}=\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}$, которая явно связана с последовательностью $a_{n}=\dfrac{\ln n}{n}$?

Там формальная проблема, связанная с формальным переходом от целочисленной переменной к вещественной. Несущественная, конечно, но надо производить определённые заклинания, что противно. Чего я и пытался избежать ссылкой на стандартный предел.

Наверное, в любом варианте любая попытка доказать это утверждение с нуля будет занудной. Надо просто принять его к сведению как факт (что ${\log n\over n}\to0$, и всё тут) -- а дальше просто использовать.

-- Пн окт 26, 2009 20:40:52 --

bot в сообщении #255117 писал(а):

монотонность легко вытекает из неравенства $(1+\frac{1}{n})^n<e$

Ну, не так уж это неравенство и тривиально -- если начинать всё с нуля. Я ж говорю -- занудство.

[vvvv]

Вот подсказка от Mathcad`а

[Бодигрим]

vvvv, а своими словами, без MathCAD вы совсем не можете? Ну или хотя бы переписать полученный результат в $\TeX$e?