Диофантовое уравнение

[RIP]

Можно так. Сделаем замену
$x=a+b-c$, $y=a-b+c$, $z=b+c+2m$, $t=b+c-2m$,
то есть
$a=(x+y)/2$, $b=(x-y+z+t)/4$, $c=(-x+y+z+t)/4$, $m=(z-t)/4$.
В терминах $x,y,z,t$ уравнение примет вид
$xy=zt$,
Общий вид решения в целых числах
$x=\alpha\beta$, $y=\gamma\delta$, $z=\alpha\gamma$, $t=\beta\delta$.
Надо только отобрать решения, в которых $a,b,c,m$ целые и ненулевые.

[Батороев]

gris в сообщении #254810 писал(а):

$a^2=2b^2+2c^2-4m^2=2(b^2+c^2-2m^2)$

Похоже, что решения можно выявить также из равенства:
$\frac{x^2+y^2}{2} = (\frac{x+y}{2})^2+(\frac{x-y}{2})^2$

-- Вс окт 25, 2009 23:19:54 --

Хотя, позже увидел, что RIP уже о нем говорил.

[Батороев]

Берем любые $b, c$ - оба четные или оба нечетные и подставляем:
$ a=b+c$; $ m=\dfrac{b-c}{2}$