Свойства интеграла Лебега (математическое ожидание)

[Alexey1]

У Ширяева написано, если математическое ожидание $E\xi$ существует, то $Ec\xi=cE\xi$. Доказательство для положительных с.в.
$Ec\xi=\lim Ec\xi_n=\lim cE\xi_n=c\lim E\xi_n=cE\xi$.
Существование математического ожидания определено, как $min(E\xi^+,E\xi^-)<\infty$. Но ведь для того, чтобы $\lim cx_n=c\lim x_n$ необходима сходимость $x_n$.

[Xaositect]

Ну так все хорошо, по условию же $\mathbf{E}\xi = \lim \mathbf{E}\xi_n$ существует.

[Alexey1]

Верно, и может равняться бесконечности. Однако, если $\lim x_n=\infty$, то $\lim cx_n \neq c\lim x_n$. Или я что-то путаю.

[Xaositect]

Ну почему же, если $\lim x_n = \infty$, $c\neq 0$, то $\lim cx_n = \infty$

[Alexey1]

Нет в другом смысле. Пусть $k_n=\sum_{i=0}^{n}2^i$, тогда $k=\lim k_n=1+2+4+8+..., 2k=2+4+8+...,$, отсюда $2k-k=-1, k=-1$, что очевидно не так. Нельзя вносить константу под знак предела если предел равен бесконечности. Вот что я имею ввиду.
А в приведённом доказательстве устанавливается равенство $\lim cE\xi_n=c\lim E\xi_n$. Непонятно почему.

[Xaositect]

Так.
У нас возможны 4 случая.
Первый $\mathbf{E}\xi^{+} <\infty$, $\mathbf{E}\xi^{-} <\infty$. В этом случае все хорошо.
Второй $\mathbf{E}\xi^{+} = \infty$, $\mathbf{E}\xi^{-} <\infty$, и $\mathbf{E}\xi = +\infty$. Пусть $c>0$. Тогда $\mathbf{E}c\xi^{+} = \infty$, $\mathbf{E}c\xi^{-} <\infty$, и $\mathbf{E}c\xi = +\infty$.
Третий, $\mathbf{E}\xi^{+} < \infty$, $\mathbf{E}\xi^{-} =\infty$, тут все аналогично.
Четвертый, $\mathbf{E}\xi^{+} = \infty$, $\mathbf{E}\xi^{-} = \infty$, и тут матожидание не существует, то есть и рассматривать этот случай нам не надо.

[Alexey1]

Да все верно, но вот как доказать случаи 2 и 3. Обычно начинают с простых положительных случайных величин, для которых равество очевидно, а затем переходят к пределу. Вот здесь то и вопрос.

[Xaositect]

Пусть у нас есть неотрицательная случайная величина $\xi$, $\xi = \lim \xi_n$, $\xi_n$ - элементарные неотрицательные случайные величины, для которых соотношение очевидно. Пусть $c>0$.
Рассмотрим два случая.
1. $\mathbf{E}\xi = \lim \mathbf{E}\xi_n < \infty$. Тогда $\mathbf{E}c\xi = \lim \mathbf{E}c\xi_n = \lim c \mathbf{E}\xi_n = c\lim \mathbf{E}\xi_n = c\mathbf{E}\xi$
2. $\mathbf{E}\xi = \lim \mathbf{E}\xi_n = \infty$. Тогда $\mathbf{E}c\xi =\lim \mathbf{E}c\xi_n = \lim c\mathbf{E}\xi_n = \infty$.

-- Вс окт 25, 2009 03:45:13 --

Какое равенство Вам кажется необоснованным?

[Alexey1]

Вот эти два равенства в книге объединены в одно. То есть $\lim cE\xi_n = c\lim E\xi_n$ без отдельного рассмотрения случаев как сделали Вы. Вот это и смущает.

[Xaositect]

Alexey1 в сообщении #254694 писал(а):

Вот это и смущает.

Я бы сказал, что это чисто технические детали. Если с бесконечностью аккуратно обращаться, то она ведет себя хорошо

[Alexey1]

Спасибо за объяснение.

[faruk]

Alexey1 в сообщении #254687 писал(а):

$k=\lim k_n=1+2+4+8+..., 2k=2+4+8+...,$, отсюда $2k-k=-1$

Ловко.